8. Cohomologie des vari´ et´ es k¨ ahl´ eriennes compactes
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8.11. Remarque. Nous avons travaill´ e ici avec des coefficients constants pour
simplifier les notations, mais le lecteur pourra v´ erifier qu’on a des r´ esultats tout ` a
fait analogues pour la cohomologie ` a valeurs dans un syst` eme local de coefficients E
(fibr´ e hermitien plat), comme au § 4.C. Il suffit de remplacer partout dans les
d´ emonstrations l’op´ erateur d = d
′ + d
′′ par D E = D
′
E + D
′′
E , et d’observer qu’on a
encore ∆
′
E = ∆
′′
E =
1
2
∆ E (preuve identique ` a celle du Cor. (6.15)). On en d´ eduit
alors l’existence d’isomorphismes
H
p,q
BC (X, E) −→ H
p,q (X, E),
p+q=k
H
p,q
BC (X, E) −→ H
k
DR (X, E)
et d’une d´ ecomposition canonique
H
k
DR (X, E) =
p+q=k
H
p,q (X, E).
Dans ce contexte, la propri´ et´ e de sym´ etrie de Hodge devient
H p,q (X, E) ≃ H
q,p (X, E
⋆ ),
via l’op´ erateur antilin´ eaire # consid´ er´ e aux § 4 et § 7. Ces observations sont utiles
pour l’´ etude des variations de structure de Hodge.
8.C. D´ ecomposition primitive et th´ eor` eme de Lefschetz difficile
Nous introduisons d’abord quelques notations standard. Les nombres de Betti
et les nombres de Hodge de X sont par d´ efinition
(8.12)
b k = dim C H
k (X, C), h
p,q = dim C H
p,q (X, C).
D’apr` es la d´ ecomposition de Hodge, ces nombres satisfont les relations
(8.13)
b k =
p+q=k
h
p,q , h
q,p = h
p,q .
En cons´ equence, les nombres de Betti b 2k+1 d’une vari´ et´ e k¨ ahl´ erienne compacte sont pairs. Noter que le th´ eor` eme de dualit´ e de Serre donne la relation
suppl´ ementaire h
p,q = h
n−p,n−q , vraie d` es que X est compacte. Comme on va le
voir, l’existence de la d´ ecomposition primitive implique beaucoup d’autres propri´ et´ es caract´ eristiques int´ eressantes de l’alg` ebre de cohomologie d’une vari´ et´ e
k¨ ahl´ erienne compacte.
8.14. Lemme. Si u =
r(k−n) +
L
r u r est la d´ ecomposition primitive d’une kforme harmonique u, alors toutes les composantes u r sont harmoniques.
Preuve. Comme [∆, L] = 0, on obtient 0 = ∆u =
r L
r ∆u r , donc ∆u r = 0
d’apr` es l’unicit´ e de la d´ ecomposition.
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8.11. Remarque. Nous avons travaill´ e ici avec des coefficients constants pour
simplifier les notations, mais le lecteur pourra v´ erifier qu’on a des r´ esultats tout ` a
fait analogues pour la cohomologie ` a valeurs dans un syst` eme local de coefficients E
(fibr´ e hermitien plat), comme au § 4.C. Il suffit de remplacer partout dans les
d´ emonstrations l’op´ erateur d = d
′ + d
′′ par D E = D
′
E + D
′′
E , et d’observer qu’on a
encore ∆
′
E = ∆
′′
E =
1
2
∆ E (preuve identique ` a celle du Cor. (6.15)). On en d´ eduit
alors l’existence d’isomorphismes
H
p,q
BC (X, E) −→ H
p,q (X, E),
p+q=k
H
p,q
BC (X, E) −→ H
k
DR (X, E)
et d’une d´ ecomposition canonique
H
k
DR (X, E) =
p+q=k
H
p,q (X, E).
Dans ce contexte, la propri´ et´ e de sym´ etrie de Hodge devient
H p,q (X, E) ≃ H
q,p (X, E
⋆ ),
via l’op´ erateur antilin´ eaire # consid´ er´ e aux § 4 et § 7. Ces observations sont utiles
pour l’´ etude des variations de structure de Hodge.
8.C. D´ ecomposition primitive et th´ eor` eme de Lefschetz difficile
Nous introduisons d’abord quelques notations standard. Les nombres de Betti
et les nombres de Hodge de X sont par d´ efinition
(8.12)
b k = dim C H
k (X, C), h
p,q = dim C H
p,q (X, C).
D’apr` es la d´ ecomposition de Hodge, ces nombres satisfont les relations
(8.13)
b k =
p+q=k
h
p,q , h
q,p = h
p,q .
En cons´ equence, les nombres de Betti b 2k+1 d’une vari´ et´ e k¨ ahl´ erienne compacte sont pairs. Noter que le th´ eor` eme de dualit´ e de Serre donne la relation
suppl´ ementaire h
p,q = h
n−p,n−q , vraie d` es que X est compacte. Comme on va le
voir, l’existence de la d´ ecomposition primitive implique beaucoup d’autres propri´ et´ es caract´ eristiques int´ eressantes de l’alg` ebre de cohomologie d’une vari´ et´ e
k¨ ahl´ erienne compacte.
8.14. Lemme. Si u =
r(k−n) +
L
r u r est la d´ ecomposition primitive d’une kforme harmonique u, alors toutes les composantes u r sont harmoniques.
Preuve. Comme [∆, L] = 0, on obtient 0 = ∆u =
r L
r ∆u r , donc ∆u r = 0
d’apr` es l’unicit´ e de la d´ ecomposition.