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J.-P. Demailly, Partie I : Th´ eorie de Hodge L 2
sont des isomorphismes.
Preuve. La surjectivit´ e de H
p,q
BC (X, C) → H
p,q (X, C) vient du fait que toute
classe de H
p,q (X, C) peut ˆ etre repr´ esent´ ee par une (p, q)-forme harmonique, donc
par une (p, q)-forme d-ferm´ ee ; la propri´ et´ e d’injectivit´ e n’est rien d’autre que
l’´ equivalence (8.5 b
′′ ) ⇔ (8.5 c). Donc H
p,q
BC (X, C) ≃ H
p,q (X, C) ≃ H
p,q (X, C),
et l’isomorphisme
p+q=k
H
p,q
BC (X, C) −→ H
k
DR (X, C)
se d´ eduit de (8.4).
Mentionnons maintenant deux cons´ equences simples de la th´ eorie de Hodge.
La premi` ere concerne le calcul des groupes de cohomologie de Dolbeault de P
n .
Comme H
p,p (P
n , C) contient la classe non nulle {ω
p } et comme H
2p
DR (P
n , C) = C,
la formule de d´ ecomposition de Hodge implique :
8.8. Cons´ equence. Les groupes de cohomologie de Dolbeault de P
n sont
H
p,p (P
n , C) = C pour 0 p n,
H
p,q (P
n , C) = 0 pour p = q.
8.9. Proposition. Toute p-forme holomorphe sur une vari´ et´ e k¨ ahl´ erienne compacte X est d-ferm´ ee.
Preuve. Si u est une forme holomorphe de type (p, 0) alors d
′′ u = 0. De plus
d
′′⋆ u est de type (p, −1), donc d
′′⋆ u = 0. Par cons´ equent ∆u = 2∆
′′ u = 0, ce qui
implique du = 0.
8.10. Exemple. Consid´ erons le groupe de Heisenberg G ⊂ Gl 3 (C), d´ efini comme
le sous-groupe des matrices
M =
1
x
z
0
1
y
0
0
1
, (x, y, z) ∈ C
3 .
Soit Γ le sous-groupe discret des matrices ayant leurs coefficients x, y, z dans
l’anneau Z[i] (ou plus g´ en´ eralement dans un anneau d’entiers quadratiques imaginaires). Alors X = G/Γ est une vari´ et´ e complexe compacte de dimension 3, connue
sous le nom de vari´ et´ e d’Iwasawa. L’´ egalit´ e
M
−1 dM =
0 dx dz − xdy
0 0
dy
0 0
0
montre que dx, dy, dz − xdy sont des 1-formes holomorphes invariantes ` a gauche
sur G. Ces formes induisent des 1-formes holomorphes sur le quotient X = G/Γ.
Puisque dz − xdy n’est pas d-ferm´ ee, on voit que X ne peut pas ˆ etre k¨ ahl´ erienne.
J.-P. Demailly, Partie I : Th´ eorie de Hodge L 2
sont des isomorphismes.
Preuve. La surjectivit´ e de H
p,q
BC (X, C) → H
p,q (X, C) vient du fait que toute
classe de H
p,q (X, C) peut ˆ etre repr´ esent´ ee par une (p, q)-forme harmonique, donc
par une (p, q)-forme d-ferm´ ee ; la propri´ et´ e d’injectivit´ e n’est rien d’autre que
l’´ equivalence (8.5 b
′′ ) ⇔ (8.5 c). Donc H
p,q
BC (X, C) ≃ H
p,q (X, C) ≃ H
p,q (X, C),
et l’isomorphisme
p+q=k
H
p,q
BC (X, C) −→ H
k
DR (X, C)
se d´ eduit de (8.4).
Mentionnons maintenant deux cons´ equences simples de la th´ eorie de Hodge.
La premi` ere concerne le calcul des groupes de cohomologie de Dolbeault de P
n .
Comme H
p,p (P
n , C) contient la classe non nulle {ω
p } et comme H
2p
DR (P
n , C) = C,
la formule de d´ ecomposition de Hodge implique :
8.8. Cons´ equence. Les groupes de cohomologie de Dolbeault de P
n sont
H
p,p (P
n , C) = C pour 0 p n,
H
p,q (P
n , C) = 0 pour p = q.
8.9. Proposition. Toute p-forme holomorphe sur une vari´ et´ e k¨ ahl´ erienne compacte X est d-ferm´ ee.
Preuve. Si u est une forme holomorphe de type (p, 0) alors d
′′ u = 0. De plus
d
′′⋆ u est de type (p, −1), donc d
′′⋆ u = 0. Par cons´ equent ∆u = 2∆
′′ u = 0, ce qui
implique du = 0.
8.10. Exemple. Consid´ erons le groupe de Heisenberg G ⊂ Gl 3 (C), d´ efini comme
le sous-groupe des matrices
M =
1
x
z
0
1
y
0
0
1
, (x, y, z) ∈ C
3 .
Soit Γ le sous-groupe discret des matrices ayant leurs coefficients x, y, z dans
l’anneau Z[i] (ou plus g´ en´ eralement dans un anneau d’entiers quadratiques imaginaires). Alors X = G/Γ est une vari´ et´ e complexe compacte de dimension 3, connue
sous le nom de vari´ et´ e d’Iwasawa. L’´ egalit´ e
M
−1 dM =
0 dx dz − xdy
0 0
dy
0 0
0
montre que dx, dy, dz − xdy sont des 1-formes holomorphes invariantes ` a gauche
sur G. Ces formes induisent des 1-formes holomorphes sur le quotient X = G/Γ.
Puisque dz − xdy n’est pas d-ferm´ ee, on voit que X ne peut pas ˆ etre k¨ ahl´ erienne.