8. Cohomologie des vari´ et´ es k¨ ahl´ eriennes compactes
41
Comme ∆ ′′ = ∆
′ = ∆
′′ , on a ´ egalement H
q,p (X, C) = H p,q (X, C). En utilisant
le th´ eor` eme d’isomorphisme de Hodge pour la cohomologie de De Rham et la
cohomologie de Dolbeault, on obtient :
8.5. Th´ eor` eme de D´ ecomposition de Hodge. Sur une vari´ et´ e k¨ ahl´ erienne
compacte, il y a des isomorphismes canoniques
H
k
DR (X, C) ≃
p+q=k
H
p,q (X, C)
(d´ ecomposition de Hodge),
H
q,p (X, C) ≃ H p,q (X, C)
(sym´ etrie de Hodge).
Le seul point qui n’est pas a priori compl` etement clair est que ces isomorphismes soient ind´ ependants de la m´ etrique k¨ ahl´ erienne choisie. Pour montrer que
c’est bien le cas, on peut utiliser le lemme suivant, qui va nous permettre de
comparer les trois types de groupes de cohomologie consid´ er´ es au § 8.A.
8.6. Lemme. Soit u une (p, q)-forme d-ferm´ ee. Les propri´ et´ es suivantes sont
´ equivalentes :
a) u est d-exacte ;
b
′ ) u est d
′ -exacte ;
b
′′ ) u est d
′′ -exacte ;
c) u est d
′ d
′′ -exacte, i.e. u peut s’´ ecrire u = d
′ d
′′ v.
d) u est orthogonale ` a H
p,q (X, C).
Preuve. Il est ´ evident que c) implique a), b
′ ), b
′′ ), et que a) ou b
′ ) ou b
′′ ) implique
d). Il suffit donc de prouver que d) implique c). Comme du = 0, nous avons
d
′ u = d
′′ u = 0, et comme u est suppos´ ee orthogonale ` a H
p,q (X, C), le th. 7.1
implique u = d
′′ s, s ∈ C
∞ (X, Λ
p,q−1 T
⋆
X ). Le th´ eor` eme analogue au th. 7.1 pour
d
′ (qui s’en d´ eduit d’ailleurs par conjugaison) montre qu’on a s = h + d
′ v + d
′⋆ w,
avec h ∈ H
p,q−1 (X, C), v ∈ C
∞ (X, Λ
p−1,q−1 T
⋆
X ) et w ∈ C
∞ (X, Λ
p+1,q−1 T
⋆
X ). Par
cons´ equent
u = d
′′ d
′ v + d
′′ d
′⋆ w = −d
′ d
′′ v − d
′⋆ d
′′ w
grˆ ace au lemme 6.16. Comme d
′ u = 0, la composante d
′⋆ d
′′ w orthogonale ` a Ker d
′
doit ˆ etre nulle.
Du lemme 8.6 nous d´ eduisons le corollaire suivant, qui ` a son tour implique que
la d´ ecomposition de Hodge ne d´ epend pas de la m´ etrique k¨ ahl´ erienne choisie.
8.7. Corollaire. Soit X une vari´ et´ e k¨ ahl´ erienne compacte. Alors les morphismes
naturels
H
p,q
BC (X, C) −→ H
p,q (X, C),
p+q=k
H
p,q
BC (X, C) −→ H
k
DR (X, C)
41
Comme ∆ ′′ = ∆
′ = ∆
′′ , on a ´ egalement H
q,p (X, C) = H p,q (X, C). En utilisant
le th´ eor` eme d’isomorphisme de Hodge pour la cohomologie de De Rham et la
cohomologie de Dolbeault, on obtient :
8.5. Th´ eor` eme de D´ ecomposition de Hodge. Sur une vari´ et´ e k¨ ahl´ erienne
compacte, il y a des isomorphismes canoniques
H
k
DR (X, C) ≃
p+q=k
H
p,q (X, C)
(d´ ecomposition de Hodge),
H
q,p (X, C) ≃ H p,q (X, C)
(sym´ etrie de Hodge).
Le seul point qui n’est pas a priori compl` etement clair est que ces isomorphismes soient ind´ ependants de la m´ etrique k¨ ahl´ erienne choisie. Pour montrer que
c’est bien le cas, on peut utiliser le lemme suivant, qui va nous permettre de
comparer les trois types de groupes de cohomologie consid´ er´ es au § 8.A.
8.6. Lemme. Soit u une (p, q)-forme d-ferm´ ee. Les propri´ et´ es suivantes sont
´ equivalentes :
a) u est d-exacte ;
b
′ ) u est d
′ -exacte ;
b
′′ ) u est d
′′ -exacte ;
c) u est d
′ d
′′ -exacte, i.e. u peut s’´ ecrire u = d
′ d
′′ v.
d) u est orthogonale ` a H
p,q (X, C).
Preuve. Il est ´ evident que c) implique a), b
′ ), b
′′ ), et que a) ou b
′ ) ou b
′′ ) implique
d). Il suffit donc de prouver que d) implique c). Comme du = 0, nous avons
d
′ u = d
′′ u = 0, et comme u est suppos´ ee orthogonale ` a H
p,q (X, C), le th. 7.1
implique u = d
′′ s, s ∈ C
∞ (X, Λ
p,q−1 T
⋆
X ). Le th´ eor` eme analogue au th. 7.1 pour
d
′ (qui s’en d´ eduit d’ailleurs par conjugaison) montre qu’on a s = h + d
′ v + d
′⋆ w,
avec h ∈ H
p,q−1 (X, C), v ∈ C
∞ (X, Λ
p−1,q−1 T
⋆
X ) et w ∈ C
∞ (X, Λ
p+1,q−1 T
⋆
X ). Par
cons´ equent
u = d
′′ d
′ v + d
′′ d
′⋆ w = −d
′ d
′′ v − d
′⋆ d
′′ w
grˆ ace au lemme 6.16. Comme d
′ u = 0, la composante d
′⋆ d
′′ w orthogonale ` a Ker d
′
doit ˆ etre nulle.
Du lemme 8.6 nous d´ eduisons le corollaire suivant, qui ` a son tour implique que
la d´ ecomposition de Hodge ne d´ epend pas de la m´ etrique k¨ ahl´ erienne choisie.
8.7. Corollaire. Soit X une vari´ et´ e k¨ ahl´ erienne compacte. Alors les morphismes
naturels
H
p,q
BC (X, C) −→ H
p,q (X, C),
p+q=k
H
p,q
BC (X, C) −→ H
k
DR (X, C)