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J.-P. Demailly, Partie I : Th´ eorie de Hodge L 2
De plus, (4.20) implique
D
′′
E ⋆ (# s) = (−1)
deg s # (D
′′
E )
⋆ s,
(D
′′
E ⋆ )
⋆ (# s) = (−1)
deg s+1 # D
′′⋆
E s,
∆
′′
E ⋆ (# s) = # ∆
′′
E s,
o` u D E ⋆ est la connexion de Chern de E
⋆ . Par cons´ equent, s ∈ H
p,q (X, E) si et
seulement si # s ∈ H
n−p,n−q (X, E
⋆ ). Le th´ eor` eme 7.3 est alors une cons´ equence
du fait que l’int´ egrale s
2 =
X
s ∧ # s ne s’annule pas si s = 0.
8. Cohomologie des vari´ et´ es k¨ ahl´ eriennes compactes
8.A. Groupes de cohomologie de Bott-Chern
Soit X une vari´ et´ e complexe, non n´ ecessairement compacte pour le moment. Les “groupes de cohomologie” suivants sont utiles pour d´ ecrire certains
aspects de la th´ eorie de Hodge des vari´ et´ es complexes compactes qui ne sont pas
n´ ecessairement k¨ ahl´ eriennes.
8.1. D´ efinition. On d´ efinit les groupes de cohomologie de Bott-Chern de X
comme ´ etant les groupes
H
p,q
BC (X, C) =
C
∞ (X, Λ
p,q T
⋆
X ) ∩ Ker d
/d
′ d
′′ C
∞ (X, Λ
p−1,q−1 T
⋆
X ).
Alors H
•,•
BC (X, C) a une structure d’alg` ebre bigradu´ ee, que nous appellerons alg` ebre
de cohomologie de Bott-Chern de X.
Comme le groupe d
′ d
′′ C
∞ (X, Λ
p−1,q−1 T
⋆
X ) est contenu aussi bien dans le
groupe des cobords d
′′ C
∞ (X, Λ
p,q−1 T
⋆
X ) du complexe de Dolbeault que des
cobords du complexe de De Rham dC
∞ (X, Λ
p+q−1 (C ⊗ T X )
⋆ ), il y a des morphismes canoniques
H
p,q
BC (X, C) −→ H
p,q (X, C),
(8.2)
H
p,q
BC (X, C) −→ H
p+q
DR (X, C),
(8.3)
de la cohomologie de Bott-Chern dans la cohomologie de Dolbeault ou de De
Rham. Ces morphismes sont des homomorphismes de C-alg` ebres. Il est ´ egalement
clair ` a partir de la d´ efinition que nous avons la propri´ et´ e de sym´ etrie H
q,p
BC (X, C) =
H
p,q
BC (X, C). On peut montrer ` a partir de la suite spectrale de Hodge-Fr¨ olicher (voir
§ 10) que H
p,q
BC (X, C) est toujours de dimension finie si X est compacte.
8.B. Th´ eor` eme de d´ ecomposition de Hodge
On suppose ` a partir de maintenant que (X, ω) est une vari´ et´ e k¨ ahl´ erienne
compacte. L’´ egalit´ e ∆ = 2∆
′′ montre que ∆ est homog` ene par rapport au bidegr´ e
et qu’il y a une d´ ecomposition orthogonale
(8.4)
H
k (X, C) =
p+q=k
H
p,q (X, C).
J.-P. Demailly, Partie I : Th´ eorie de Hodge L 2
De plus, (4.20) implique
D
′′
E ⋆ (# s) = (−1)
deg s # (D
′′
E )
⋆ s,
(D
′′
E ⋆ )
⋆ (# s) = (−1)
deg s+1 # D
′′⋆
E s,
∆
′′
E ⋆ (# s) = # ∆
′′
E s,
o` u D E ⋆ est la connexion de Chern de E
⋆ . Par cons´ equent, s ∈ H
p,q (X, E) si et
seulement si # s ∈ H
n−p,n−q (X, E
⋆ ). Le th´ eor` eme 7.3 est alors une cons´ equence
du fait que l’int´ egrale s
2 =
X
s ∧ # s ne s’annule pas si s = 0.
8. Cohomologie des vari´ et´ es k¨ ahl´ eriennes compactes
8.A. Groupes de cohomologie de Bott-Chern
Soit X une vari´ et´ e complexe, non n´ ecessairement compacte pour le moment. Les “groupes de cohomologie” suivants sont utiles pour d´ ecrire certains
aspects de la th´ eorie de Hodge des vari´ et´ es complexes compactes qui ne sont pas
n´ ecessairement k¨ ahl´ eriennes.
8.1. D´ efinition. On d´ efinit les groupes de cohomologie de Bott-Chern de X
comme ´ etant les groupes
H
p,q
BC (X, C) =
C
∞ (X, Λ
p,q T
⋆
X ) ∩ Ker d
/d
′ d
′′ C
∞ (X, Λ
p−1,q−1 T
⋆
X ).
Alors H
•,•
BC (X, C) a une structure d’alg` ebre bigradu´ ee, que nous appellerons alg` ebre
de cohomologie de Bott-Chern de X.
Comme le groupe d
′ d
′′ C
∞ (X, Λ
p−1,q−1 T
⋆
X ) est contenu aussi bien dans le
groupe des cobords d
′′ C
∞ (X, Λ
p,q−1 T
⋆
X ) du complexe de Dolbeault que des
cobords du complexe de De Rham dC
∞ (X, Λ
p+q−1 (C ⊗ T X )
⋆ ), il y a des morphismes canoniques
H
p,q
BC (X, C) −→ H
p,q (X, C),
(8.2)
H
p,q
BC (X, C) −→ H
p+q
DR (X, C),
(8.3)
de la cohomologie de Bott-Chern dans la cohomologie de Dolbeault ou de De
Rham. Ces morphismes sont des homomorphismes de C-alg` ebres. Il est ´ egalement
clair ` a partir de la d´ efinition que nous avons la propri´ et´ e de sym´ etrie H
q,p
BC (X, C) =
H
p,q
BC (X, C). On peut montrer ` a partir de la suite spectrale de Hodge-Fr¨ olicher (voir
§ 10) que H
p,q
BC (X, C) est toujours de dimension finie si X est compacte.
8.B. Th´ eor` eme de d´ ecomposition de Hodge
On suppose ` a partir de maintenant que (X, ω) est une vari´ et´ e k¨ ahl´ erienne
compacte. L’´ egalit´ e ∆ = 2∆
′′ montre que ∆ est homog` ene par rapport au bidegr´ e
et qu’il y a une d´ ecomposition orthogonale
(8.4)
H
k (X, C) =
p+q=k
H
p,q (X, C).