7. Groupes H
p,q (X, E) et dualit´ e de Serre
39
o` u ξ
(0,1) est la partie de type (0, 1) de la 1-forme r´ eelle ξ. Par cons´ equent, nous
voyons que la partie principale de l’op´ erateur ∆
′′
E = D
′′
E D
′′⋆
E + D
′′⋆
E D
′′
E est
σ ∆ ′′
E
(x, ξ) · s = −|ξ
0,1 |
2 s = −
1
2
|ξ|
2 s,
et on a bien sˆ ur un r´ esultat semblable pour ∆
′
E . En particulier σ ∆ ′
E
= σ ∆ ′′
E
=
1
2
σ ∆ E et ∆
′′
E est un op´ erateur elliptique auto-adjoint sur chacun des espaces
C
∞ (X, Λ
p,q T
⋆
X ⊗ E). Puisque D
′′2
E = 0, le r´ esultat suivant se d´ emontre de la mˆ eme
fa¸ con que ceux obtenus au § 4.C.
7.1. Th´ eor` eme. Pour tout bidegr´ e (p, q), il existe une d´ ecomposition orthogonale
C
∞ (X, Λ
p,q T
⋆
X ⊗ E) = H
p,q (X, E) ⊕ Im D
′′
E ⊕ Im D
′′⋆
E
o` u H
p,q (X, E) est l’espace des formes ∆
′′
E -harmoniques de C
∞ (X, Λ
p,q T
⋆
X ⊗ E).
La d´ ecomposition ci-dessus montre que le sous-espace des q-cocycles du
complexe
C
∞ (X, Λ
p,• T
⋆
X ⊗E), d
′′
est H
p,q (X, E)⊕Im D
′′
E . De l` a, nous d´ eduisons
le
7.2. Th´ eor` eme d’isomorphisme de Hodge. Les groupes de cohomologie de
Dolbeault H
p,q (X, E) sont de dimension finie, et il y a un isomorphisme
H
p,q (X, E) ≃ H
p,q (X, E).
Une autre cons´ equence int´ eressante est une preuve du th´ eor` eme de dualit´ e
de Serre pour les vari´ et´ es complexes compactes. Voir Serre [Ser55] pour une
d´ emonstration dans un contexte quelque peu plus g´ en´ eral.
7.3. Th´ eor` eme de dualit´ e de Serre. L’accouplement bilin´ eaire
H
p,q (X, E) × H
n−p,n−q (X, E
⋆ ) −→ C,
(s, t) −→
M
s ∧ t
est une dualit´ e non d´ eg´ en´ er´ ee.
Preuve. Soient s 1 ∈ C
∞ (X, Λ
p,q T
⋆
X ⊗E), s 2 ∈ C
∞ (X, Λ
n−p,n−q−1 T
⋆
X ⊗E). Puisque
s 1 ∧ s 2 est de bidegr´ e (n, n − 1), nous avons
(7.4)
d(s 1 ∧ s 2 ) = d
′′ (s 1 ∧ s 2 ) = d
′′ s 1 ∧ s 2 + (−1)
p+q s 1 ∧ d
′′ s 2 .
La formule de Stokes implique que l’accouplement bilin´ eaire ci-dessus peut ˆ etre
factoris´ e au travers des groupes de cohomologie de Dolbeault. L’op´ erateur # d´ efini
au § 4.A est tel que
# : C
∞ (X, Λ
p,q T
⋆
X ⊗ E) −→ C
∞ (X, Λ
n−p,n−q T
⋆
X ⊗ E
⋆ ).
p,q (X, E) et dualit´ e de Serre
39
o` u ξ
(0,1) est la partie de type (0, 1) de la 1-forme r´ eelle ξ. Par cons´ equent, nous
voyons que la partie principale de l’op´ erateur ∆
′′
E = D
′′
E D
′′⋆
E + D
′′⋆
E D
′′
E est
σ ∆ ′′
E
(x, ξ) · s = −|ξ
0,1 |
2 s = −
1
2
|ξ|
2 s,
et on a bien sˆ ur un r´ esultat semblable pour ∆
′
E . En particulier σ ∆ ′
E
= σ ∆ ′′
E
=
1
2
σ ∆ E et ∆
′′
E est un op´ erateur elliptique auto-adjoint sur chacun des espaces
C
∞ (X, Λ
p,q T
⋆
X ⊗ E). Puisque D
′′2
E = 0, le r´ esultat suivant se d´ emontre de la mˆ eme
fa¸ con que ceux obtenus au § 4.C.
7.1. Th´ eor` eme. Pour tout bidegr´ e (p, q), il existe une d´ ecomposition orthogonale
C
∞ (X, Λ
p,q T
⋆
X ⊗ E) = H
p,q (X, E) ⊕ Im D
′′
E ⊕ Im D
′′⋆
E
o` u H
p,q (X, E) est l’espace des formes ∆
′′
E -harmoniques de C
∞ (X, Λ
p,q T
⋆
X ⊗ E).
La d´ ecomposition ci-dessus montre que le sous-espace des q-cocycles du
complexe
C
∞ (X, Λ
p,• T
⋆
X ⊗E), d
′′
est H
p,q (X, E)⊕Im D
′′
E . De l` a, nous d´ eduisons
le
7.2. Th´ eor` eme d’isomorphisme de Hodge. Les groupes de cohomologie de
Dolbeault H
p,q (X, E) sont de dimension finie, et il y a un isomorphisme
H
p,q (X, E) ≃ H
p,q (X, E).
Une autre cons´ equence int´ eressante est une preuve du th´ eor` eme de dualit´ e
de Serre pour les vari´ et´ es complexes compactes. Voir Serre [Ser55] pour une
d´ emonstration dans un contexte quelque peu plus g´ en´ eral.
7.3. Th´ eor` eme de dualit´ e de Serre. L’accouplement bilin´ eaire
H
p,q (X, E) × H
n−p,n−q (X, E
⋆ ) −→ C,
(s, t) −→
M
s ∧ t
est une dualit´ e non d´ eg´ en´ er´ ee.
Preuve. Soient s 1 ∈ C
∞ (X, Λ
p,q T
⋆
X ⊗E), s 2 ∈ C
∞ (X, Λ
n−p,n−q−1 T
⋆
X ⊗E). Puisque
s 1 ∧ s 2 est de bidegr´ e (n, n − 1), nous avons
(7.4)
d(s 1 ∧ s 2 ) = d
′′ (s 1 ∧ s 2 ) = d
′′ s 1 ∧ s 2 + (−1)
p+q s 1 ∧ d
′′ s 2 .
La formule de Stokes implique que l’accouplement bilin´ eaire ci-dessus peut ˆ etre
factoris´ e au travers des groupes de cohomologie de Dolbeault. L’op´ erateur # d´ efini
au § 4.A est tel que
# : C
∞ (X, Λ
p,q T
⋆
X ⊗ E) −→ C
∞ (X, Λ
n−p,n−q T
⋆
X ⊗ E
⋆ ).