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J.-P. Demailly, Partie I : Th´ eorie de Hodge L 2
sont des isomorphismes pour tous les entiers k n et (p, q) tels que p + q n.
6.24. Proposition. Pour tout (p, q) ∈ N
2 tel que p + q n, Prim
p,q T
⋆
X est
une repr´ esentation irr´ eductible de U (n) ; plus pr´ ecis´ ement, c’est la repr´ esentation
irr´ eductible associ´ ee au plus haut poids ε 1 + · · · + ε q − (ε n−p+1 + · · · + ε n ), o` u
(ε j ) est la base canonique des caract` eres du sous-groupe commutatif maximal
U (1)
n ⊂ U (n). La d´ ecomposition primitive de Λ
p,q T
⋆
X ou de Λ
k (C ⊗ T X )
⋆ n’est
autre que la d´ ecomposition en composantes irr´ eductibles sous l’action de U (n).
Preuve. On observe d’abord que Prim
p,q T
⋆
X = 0, puisqu’on a par exemple
dz 1 ∧ · · · ∧ dz p ∧ dz p+1 ∧ · · · ∧ dz p+q ∈ Prim
p,q T
⋆
X
La d´ ecomposition primitive donne par ailleurs
Λ
p,q T
⋆
X =
0rm
L
r Prim
p−r,q−r T
⋆
X
avec m = min(p, q), ce qui montre que le U (n)-module Λ
p,q T
⋆
X poss` ede au moins
m + 1 composantes irr´ eductibles non triviales, ` a savoir celles de chacun des termes
Prim
p−r,q−r T
⋆
X , 0 r m. Pour voir que ceux-ci sont irr´ eductibles, il suffit
donc de montrer que le U (n)-module Λ
p,q T
⋆
X poss` ede au plus (m + 1) composantes
irr´ eductibles. Or, par complexification de la repr´ esentation de U (n), on obtient
une repr´ esentation isomorphe ` a celle de GL(n, C) sur Λ
p T
⋆
X ⊗ Λ
q T X donn´ ee par
g ·(u⊗ξ) = (g
−1 )
⋆ u⊗g ⋆ ξ. La th´ eorie des repr´ esentations du groupe lin´ eaire montre
que les composantes irr´ eductibles d’une repr´ esentation sont en correspondance
biunivoque avec les vecteurs propres pour l’action du sous-groupe de Borel B n
des matrices triangulaires sup´ erieures. Un calcul laiss´ e au lecteur montre que ces
vecteurs propres correspondent pr´ ecis´ ement aux (p, q)-formes
L
r (dz n−p+r+1 ∧ · · · ∧ dz n ∧ dz 1 ∧ · · · ∧ dz q−r ),
0 r m,
dont le poids sous l’action de U (1)
n est ε 1 + · · · + ε q−r − (ε n−p+r+1 + · · · + ε n ).
7. Groupes H
p,q (X, E) et dualit´ e de Serre
Nous arrivons maintenant aux aspects sp´ ecifiquement holomorphes de la
th´ eorie de Hodge. Une grande partie de cette th´ eorie a ´ et´ e developp´ ee par
K. Kodaira, S. Lefschetz et A. Weil. Le lecteur pourra consulter avec profit les
Œuvres Compl` etes de Kodaira [Kod75] et le livre de A. Weil [Wei57] ; voir aussi
[Wel80] pour un expos´ e plus r´ ecent.
Soit (X, ω) une vari´ et´ e hermitienne compacte et E un fibr´ e vectoriel holomorphe hermitien de rang r sur X. Nous noterons D E la connexion de Chern de E,
D
⋆
E = − ⋆ D E ⋆ l’adjoint formel de D E , et D
′⋆
E , D
′′⋆
E les composantes de D
⋆
E de
type (−1, 0) et (0, −1). Un calcul similaire ` a ceux faits en 4.14 montre que
σ D ′′
E
(x, ξ) · s = ξ
0,1 ∧ s,
ξ ∈
R T
⋆
X = Hom R (T X , R), s ∈ E x ,
J.-P. Demailly, Partie I : Th´ eorie de Hodge L 2
sont des isomorphismes pour tous les entiers k n et (p, q) tels que p + q n.
6.24. Proposition. Pour tout (p, q) ∈ N
2 tel que p + q n, Prim
p,q T
⋆
X est
une repr´ esentation irr´ eductible de U (n) ; plus pr´ ecis´ ement, c’est la repr´ esentation
irr´ eductible associ´ ee au plus haut poids ε 1 + · · · + ε q − (ε n−p+1 + · · · + ε n ), o` u
(ε j ) est la base canonique des caract` eres du sous-groupe commutatif maximal
U (1)
n ⊂ U (n). La d´ ecomposition primitive de Λ
p,q T
⋆
X ou de Λ
k (C ⊗ T X )
⋆ n’est
autre que la d´ ecomposition en composantes irr´ eductibles sous l’action de U (n).
Preuve. On observe d’abord que Prim
p,q T
⋆
X = 0, puisqu’on a par exemple
dz 1 ∧ · · · ∧ dz p ∧ dz p+1 ∧ · · · ∧ dz p+q ∈ Prim
p,q T
⋆
X
La d´ ecomposition primitive donne par ailleurs
Λ
p,q T
⋆
X =
0rm
L
r Prim
p−r,q−r T
⋆
X
avec m = min(p, q), ce qui montre que le U (n)-module Λ
p,q T
⋆
X poss` ede au moins
m + 1 composantes irr´ eductibles non triviales, ` a savoir celles de chacun des termes
Prim
p−r,q−r T
⋆
X , 0 r m. Pour voir que ceux-ci sont irr´ eductibles, il suffit
donc de montrer que le U (n)-module Λ
p,q T
⋆
X poss` ede au plus (m + 1) composantes
irr´ eductibles. Or, par complexification de la repr´ esentation de U (n), on obtient
une repr´ esentation isomorphe ` a celle de GL(n, C) sur Λ
p T
⋆
X ⊗ Λ
q T X donn´ ee par
g ·(u⊗ξ) = (g
−1 )
⋆ u⊗g ⋆ ξ. La th´ eorie des repr´ esentations du groupe lin´ eaire montre
que les composantes irr´ eductibles d’une repr´ esentation sont en correspondance
biunivoque avec les vecteurs propres pour l’action du sous-groupe de Borel B n
des matrices triangulaires sup´ erieures. Un calcul laiss´ e au lecteur montre que ces
vecteurs propres correspondent pr´ ecis´ ement aux (p, q)-formes
L
r (dz n−p+r+1 ∧ · · · ∧ dz n ∧ dz 1 ∧ · · · ∧ dz q−r ),
0 r m,
dont le poids sous l’action de U (1)
n est ε 1 + · · · + ε q−r − (ε n−p+r+1 + · · · + ε n ).
7. Groupes H
p,q (X, E) et dualit´ e de Serre
Nous arrivons maintenant aux aspects sp´ ecifiquement holomorphes de la
th´ eorie de Hodge. Une grande partie de cette th´ eorie a ´ et´ e developp´ ee par
K. Kodaira, S. Lefschetz et A. Weil. Le lecteur pourra consulter avec profit les
Œuvres Compl` etes de Kodaira [Kod75] et le livre de A. Weil [Wei57] ; voir aussi
[Wel80] pour un expos´ e plus r´ ecent.
Soit (X, ω) une vari´ et´ e hermitienne compacte et E un fibr´ e vectoriel holomorphe hermitien de rang r sur X. Nous noterons D E la connexion de Chern de E,
D
⋆
E = − ⋆ D E ⋆ l’adjoint formel de D E , et D
′⋆
E , D
′′⋆
E les composantes de D
⋆
E de
type (−1, 0) et (0, −1). Un calcul similaire ` a ceux faits en 4.14 montre que
σ D ′′
E
(x, ξ) · s = ξ
0,1 ∧ s,
ξ ∈
R T
⋆
X = Hom R (T X , R), s ∈ E x ,