6. Identit´ es fondamentales de la g´ eom´ etrie k¨ ahl´ erienne
37
f) Cons´ equence imm´ ediate de e) et de la d´ ecomposition V =
r∈N L
r (P ), si l’on
se restreint aux seuls ´ el´ ements de poids pur µ ; on ne peut avoir L
r (P µ−2r ) = 0
que si r m = −(µ − 2r), soit r µ.
g) Il suffit de v´ erifier l’assertion dans le cas d’une repr´ esentation irr´ eductible
V ≃ S
m (C
2 ). Dans ce cas, le r´ esultat est clair, puisque les poids 2k−m, 0 k m,
se r´ epartissent sym´ etriquement dans l’intervalle [−m, m] et que V est engendr´ e par
(L
k w) 0km pour tout vecteur non nul w de V −m .
Nous retraduisons maintenant ces r´ esultats dans le cas de la repr´ esentation de
sl(2, C) sur V = Λ
•,• T
⋆
X . La composante Λ
k (C⊗T X )
⋆ =
p+q=k Λ
p,q T
⋆
X s’identifie
alors ` a l’espace propre V µ de B de poids µ = k − n = p + q − n (par d´ efinition
mˆ eme de B, voir (6.9)).
6.20. D´ efinition. Une forme homog` ene u ∈ Λ
k (C ⊗ T X )
⋆ est appel´ ee primitive si
Λu = 0. L’espace des formes primitives de degr´ e total k sera not´ e
Prim
k T
⋆
X =
p+q=k
Prim
p,q T
⋆
X .
Puisque l’op´ erateur Λ commute avec l’action de U (T X ) ≃ U (n) sur l’alg` ebre
ext´ erieure, il est clair que Prim
p,q T
⋆
X ⊂ Λ
p,q T
⋆
X est un sous-espace U (n)-invariant.
On verra plus loin (prop. 6.24) que Prim
p,q T
⋆
X est en fait une repr´ esentation
irr´ eductible de U (n). Les propri´ et´ es (6.19 e, f, g) impliquent successivement
6.21. Proposition. On a Prim
k T
⋆
X = 0 pour k > n. De plus, si u ∈ Prim
k T
⋆
X ,
k n, alors L
r u = 0 pour r > n − k.
6.22. Formule de d´ ecomposition primitive. Pour tout u ∈ Λ
k (C ⊗ T X )
⋆ , il
existe une d´ ecomposition unique
u =
r(k−n) +
L
r u k−2r , u k−2r ∈ Prim
k−2r T
⋆
X .
Par cons´ equent, on obtient une d´ ecomposition en somme directe de repr´ esentations
de U (n)
Λ
k (C ⊗ T X )
⋆ =
r(k−n) +
L
r Prim
k−2r T
⋆
X ,
Λ
p,q T
⋆
X =
r(p+q−n) +
L
r Prim
p−r,q−r T
⋆
X .
6.23. Isomorphisme de Lefschetz. Les op´ erateurs lin´ eaires
L
n−k : Λ
k (C ⊗ T X )
⋆ −→ Λ
2n−k (C ⊗ T X )
⋆ ,
L
n−p−q : Λ
p,q T
⋆
X −→ Λ
n−q,n−p T
⋆
X ,
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f) Cons´ equence imm´ ediate de e) et de la d´ ecomposition V =
r∈N L
r (P ), si l’on
se restreint aux seuls ´ el´ ements de poids pur µ ; on ne peut avoir L
r (P µ−2r ) = 0
que si r m = −(µ − 2r), soit r µ.
g) Il suffit de v´ erifier l’assertion dans le cas d’une repr´ esentation irr´ eductible
V ≃ S
m (C
2 ). Dans ce cas, le r´ esultat est clair, puisque les poids 2k−m, 0 k m,
se r´ epartissent sym´ etriquement dans l’intervalle [−m, m] et que V est engendr´ e par
(L
k w) 0km pour tout vecteur non nul w de V −m .
Nous retraduisons maintenant ces r´ esultats dans le cas de la repr´ esentation de
sl(2, C) sur V = Λ
•,• T
⋆
X . La composante Λ
k (C⊗T X )
⋆ =
p+q=k Λ
p,q T
⋆
X s’identifie
alors ` a l’espace propre V µ de B de poids µ = k − n = p + q − n (par d´ efinition
mˆ eme de B, voir (6.9)).
6.20. D´ efinition. Une forme homog` ene u ∈ Λ
k (C ⊗ T X )
⋆ est appel´ ee primitive si
Λu = 0. L’espace des formes primitives de degr´ e total k sera not´ e
Prim
k T
⋆
X =
p+q=k
Prim
p,q T
⋆
X .
Puisque l’op´ erateur Λ commute avec l’action de U (T X ) ≃ U (n) sur l’alg` ebre
ext´ erieure, il est clair que Prim
p,q T
⋆
X ⊂ Λ
p,q T
⋆
X est un sous-espace U (n)-invariant.
On verra plus loin (prop. 6.24) que Prim
p,q T
⋆
X est en fait une repr´ esentation
irr´ eductible de U (n). Les propri´ et´ es (6.19 e, f, g) impliquent successivement
6.21. Proposition. On a Prim
k T
⋆
X = 0 pour k > n. De plus, si u ∈ Prim
k T
⋆
X ,
k n, alors L
r u = 0 pour r > n − k.
6.22. Formule de d´ ecomposition primitive. Pour tout u ∈ Λ
k (C ⊗ T X )
⋆ , il
existe une d´ ecomposition unique
u =
r(k−n) +
L
r u k−2r , u k−2r ∈ Prim
k−2r T
⋆
X .
Par cons´ equent, on obtient une d´ ecomposition en somme directe de repr´ esentations
de U (n)
Λ
k (C ⊗ T X )
⋆ =
r(k−n) +
L
r Prim
k−2r T
⋆
X ,
Λ
p,q T
⋆
X =
r(p+q−n) +
L
r Prim
p−r,q−r T
⋆
X .
6.23. Isomorphisme de Lefschetz. Les op´ erateurs lin´ eaires
L
n−k : Λ
k (C ⊗ T X )
⋆ −→ Λ
2n−k (C ⊗ T X )
⋆ ,
L
n−p−q : Λ
p,q T
⋆
X −→ Λ
n−q,n−p T
⋆
X ,