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J.-P. Demailly, Partie I : Th´ eorie de Hodge L 2
g) Pour tout r ∈ N, l’endomorphisme L
r : V −r → V r est bijectif.
Preuve. On fait d’abord l’observation suivante : si v ∈ V µ , alors Lv est de poids
pur µ + 2 et Λv de poids pur µ − 2. En effet, on a
BLv = LBv + [B, L]v = L(µv) + 2Lv = (µ + 2)Lv,
BΛv = ΛBv + [B, Λ]v = Λ(µv) − 2Λv = (µ − 2)Λv.
Supposons maintenant V = 0 et soit v ∈ V µ un vecteur propre non nul. Si les
vecteurs (Λ
k v) k∈N ´ etaient tous non nuls, on aurait une infinit´ e de vecteurs propres
de B de valeurs propres µ − 2k distinctes, ce qui est impossible. Donc il existe un
entier r 0 tel que Λ
r v = 0 et Λ
k v = 0 pour k > r, par suite Λ
r v est un ´ el´ ement
primitif non nul de poids pur µ
′ = µ − 2r. Soit maintenant w ∈ P un ´ el´ ement
non nul de poids pur µ (on vient de voir qu’il en existe pour au moins un µ ∈ C).
Le mˆ eme raisonnement que ci-dessus appliqu´ e aux puissances L
k w montre qu’il
existe un entier m > 0 tel que L
m w = 0 et L
m+1 w = 0. L’espace vectoriel W de
dimension m + 1 engendr´ e par w k = L
k w, 0 k m est stable par l’action de
sl(2, C). On a en effet Bw k = (µ + 2k)w k , Lw k = w k+1 par d´ efinition, tandis que
Λw k = ΛL
k w = L
k Λw −
0jk−1
L
k−j−1 [L, Λ]L
j w
= 0 −
L
k−j−1 BL
j w = −
0jk−1
(µ + 2j)L
k−1 w
= k(−µ − k + 1)w k−1 .
En appliquant cette relation ` a l’indice k = m + 1 pour lequel w m+1 = 0, on
voit qu’on doit avoir n´ ecessairement µ = −m 0. On remarque que B ↾W
est diagonalisable (les vecteurs propres ´ etant les vecteurs w k , de poids entiers
2k − m), et que les ´ el´ ements primitifs de W se r´ eduisent ` a la droite Cw, telle que
W =
L
r (Cw). Les propri´ et´ es (a,b,c,d) annonc´ ees s’obtiennent alors facilement
par r´ ecurrence sur dim V . En consid´ erant la repr´ esentation quotient V /W on voit
en effet aussitˆ ot par r´ ecurrence que les valeurs propres de B sont des entiers et que
L, Λ sont nilpotents. Il est facile de v´ erifier que W ≃ S
m (C
2 ) comme repr´ esentation
de SL(2, C) (si e 1 , e 2 sont les deux vecteurs de base de C
2 , l’isomorphisme envoie
w = w 0 sur e
m
1 et w k sur L
k e
m
1 = m(m − 1) · · · (m − k + 1)e
k
1 e
m−k
2
). Le fait qu’on
ait une somme directe de repr´ esentations V = V
′ ⊕ W (avec V
′ = W
⊥ ⊂ V pour
une certaine m´ etrique SU(2, C)-invariante) entraˆ ıne par r´ ecurrence sur dim V que
B est diagonalisable, ainsi que la formule V =
L
r (P ) et la d´ ecomposition d).
e) La relation [B, Λ] = −2Λ montre que P = Ker Λ est stable par B, par suite
P =
(P ∩ V µ ) =
P µ .
Les calculs faits plus haut montrent que les ´ el´ ements primitifs purs non nuls w
sont de poids −m 0, de sorte que P µ = 0 si µ > 0. La derni` ere assertion de e)
r´ esulte du fait que pour 0 = w ∈ P −m on a L
r w = 0 si et seulement si r m.
J.-P. Demailly, Partie I : Th´ eorie de Hodge L 2
g) Pour tout r ∈ N, l’endomorphisme L
r : V −r → V r est bijectif.
Preuve. On fait d’abord l’observation suivante : si v ∈ V µ , alors Lv est de poids
pur µ + 2 et Λv de poids pur µ − 2. En effet, on a
BLv = LBv + [B, L]v = L(µv) + 2Lv = (µ + 2)Lv,
BΛv = ΛBv + [B, Λ]v = Λ(µv) − 2Λv = (µ − 2)Λv.
Supposons maintenant V = 0 et soit v ∈ V µ un vecteur propre non nul. Si les
vecteurs (Λ
k v) k∈N ´ etaient tous non nuls, on aurait une infinit´ e de vecteurs propres
de B de valeurs propres µ − 2k distinctes, ce qui est impossible. Donc il existe un
entier r 0 tel que Λ
r v = 0 et Λ
k v = 0 pour k > r, par suite Λ
r v est un ´ el´ ement
primitif non nul de poids pur µ
′ = µ − 2r. Soit maintenant w ∈ P un ´ el´ ement
non nul de poids pur µ (on vient de voir qu’il en existe pour au moins un µ ∈ C).
Le mˆ eme raisonnement que ci-dessus appliqu´ e aux puissances L
k w montre qu’il
existe un entier m > 0 tel que L
m w = 0 et L
m+1 w = 0. L’espace vectoriel W de
dimension m + 1 engendr´ e par w k = L
k w, 0 k m est stable par l’action de
sl(2, C). On a en effet Bw k = (µ + 2k)w k , Lw k = w k+1 par d´ efinition, tandis que
Λw k = ΛL
k w = L
k Λw −
0jk−1
L
k−j−1 [L, Λ]L
j w
= 0 −
L
k−j−1 BL
j w = −
0jk−1
(µ + 2j)L
k−1 w
= k(−µ − k + 1)w k−1 .
En appliquant cette relation ` a l’indice k = m + 1 pour lequel w m+1 = 0, on
voit qu’on doit avoir n´ ecessairement µ = −m 0. On remarque que B ↾W
est diagonalisable (les vecteurs propres ´ etant les vecteurs w k , de poids entiers
2k − m), et que les ´ el´ ements primitifs de W se r´ eduisent ` a la droite Cw, telle que
W =
L
r (Cw). Les propri´ et´ es (a,b,c,d) annonc´ ees s’obtiennent alors facilement
par r´ ecurrence sur dim V . En consid´ erant la repr´ esentation quotient V /W on voit
en effet aussitˆ ot par r´ ecurrence que les valeurs propres de B sont des entiers et que
L, Λ sont nilpotents. Il est facile de v´ erifier que W ≃ S
m (C
2 ) comme repr´ esentation
de SL(2, C) (si e 1 , e 2 sont les deux vecteurs de base de C
2 , l’isomorphisme envoie
w = w 0 sur e
m
1 et w k sur L
k e
m
1 = m(m − 1) · · · (m − k + 1)e
k
1 e
m−k
2
). Le fait qu’on
ait une somme directe de repr´ esentations V = V
′ ⊕ W (avec V
′ = W
⊥ ⊂ V pour
une certaine m´ etrique SU(2, C)-invariante) entraˆ ıne par r´ ecurrence sur dim V que
B est diagonalisable, ainsi que la formule V =
L
r (P ) et la d´ ecomposition d).
e) La relation [B, Λ] = −2Λ montre que P = Ker Λ est stable par B, par suite
P =
(P ∩ V µ ) =
P µ .
Les calculs faits plus haut montrent que les ´ el´ ements primitifs purs non nuls w
sont de poids −m 0, de sorte que P µ = 0 si µ > 0. La derni` ere assertion de e)
r´ esulte du fait que pour 0 = w ∈ P −m on a L
r w = 0 si et seulement si r m.