6. Identit´ es fondamentales de la g´ eom´ etrie k¨ ahl´ erienne
35
6.C. ´
El´ ements primitifs et isomorphisme de Lefschetz
Pour ´ etablir le th´ eor` eme de Lefschetz, il est commode d’utiliser la repr´ esentation de sl(2, C) exhib´ ee au Cor. 6.11. Rappelons d’abord que si g est une
sous-alg` ebre de Lie (r´ eelle ou complexe) de l’alg` ebre de Lie sl(r, C) = End(C
r )
des matrices complexes et si G = exp(g) ⊂ GL(r, C) est le groupe de Lie associ´ e,
une repr´ esentation ρ : g → End(V ) de l’alg` ebre de Lie dans un espace vectoriel
complexe V induit par exponentiation une repr´ esentation
ρ : G → GL(V )
du groupe G. Inversement, une repr´ esentation
ρ : G → GL(V ) induit par
diff´ erentiation une repr´ esentation ρ : g → End(V ) de l’alg` ebre de Lie ; il y a donc
identit´ e entre les deux notions. Si G est compact, un lemme classique de H. Weyl
montre que toute repr´ esentation de g se scinde en somme directe de repr´ esentations
irr´ eductibles (on dit alors que g est r´ eductive) : la mesure de Haar de G permet
en effet de construire une m´ etrique hermitienne invariante sur V , et on exploite
le fait que l’orthogonal d’une sous-repr´ esentation est une sous-repr´ esentation. En
particulier l’alg` ebre de Lie su(r) du groupe compact SU(r) est r´ eductive. Il en est
de mˆ eme de sl(r, C) qui est la complexifi´ ee de su(r). Nous aurons besoin du lemme
suivant bien connu en th´ eorie des repr´ esentations.
6.19. Lemme. Soit ρ : sl(2, C) → End(V ) une repr´ esentation de l’alg` ebre de Lie
sl(2, C) sur un espace vectoriel complexe de dimension finie V , et soient
L = ρ(ℓ), Λ = ρ(λ), B = ρ(b) ∈ End(V )
les endomorphismes de V associ´ es aux ´ el´ ements de base de sl(2, C). Alors :
a) V =
µ∈Z V µ est somme directe (finie) des espaces propres de B, dont les
valeurs propres µ sont des entiers. Un ´ el´ ement v ∈ V µ est dit ´ el´ ement de poids
pur µ.
b) L et Λ sont nilpotents, tels que L(V µ ) ⊂ V µ+2 , Λ(V µ ) ⊂ V µ−2 pour tout µ ∈ Z.
c) On note P = Ker Λ = {v ∈ V ; Λv = 0}, qui est appel´ e ensemble des ´ el´ ements
primitifs. On a alors une d´ ecomposition en somme directe
V =
r∈N
L
r (P ).
d) V est isomorphe ` a une somme directe finie
m∈N S(m)
⊕α m de repr´ esentations
irr´ eductibles, o` u S(m) ≃ S
m (C
2 ) est la repr´ esentation de sl(2, C) induite par la
puissance sym´ etrique m-i` eme de la repr´ esentation naturelle de SL(2, C) sur C
2 ,
et α m = dim P m est la multiplicit´ e de la composante isotypique S(m).
e) Si P µ = P ∩ V µ , alors P µ = 0 pour µ > 0 et P =
µ∈Z, µ0 P µ .
L’endomorphisme L
r : P −m → V m+2r est injectif pour r m et nul pour
r > m.
f) V µ =
r∈N, rµ
L
r (P µ−2r ),
o` u
L
r : P µ−2r → L
r (P µ−2r ) est bijectif.
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6.C. ´
El´ ements primitifs et isomorphisme de Lefschetz
Pour ´ etablir le th´ eor` eme de Lefschetz, il est commode d’utiliser la repr´ esentation de sl(2, C) exhib´ ee au Cor. 6.11. Rappelons d’abord que si g est une
sous-alg` ebre de Lie (r´ eelle ou complexe) de l’alg` ebre de Lie sl(r, C) = End(C
r )
des matrices complexes et si G = exp(g) ⊂ GL(r, C) est le groupe de Lie associ´ e,
une repr´ esentation ρ : g → End(V ) de l’alg` ebre de Lie dans un espace vectoriel
complexe V induit par exponentiation une repr´ esentation
ρ : G → GL(V )
du groupe G. Inversement, une repr´ esentation
ρ : G → GL(V ) induit par
diff´ erentiation une repr´ esentation ρ : g → End(V ) de l’alg` ebre de Lie ; il y a donc
identit´ e entre les deux notions. Si G est compact, un lemme classique de H. Weyl
montre que toute repr´ esentation de g se scinde en somme directe de repr´ esentations
irr´ eductibles (on dit alors que g est r´ eductive) : la mesure de Haar de G permet
en effet de construire une m´ etrique hermitienne invariante sur V , et on exploite
le fait que l’orthogonal d’une sous-repr´ esentation est une sous-repr´ esentation. En
particulier l’alg` ebre de Lie su(r) du groupe compact SU(r) est r´ eductive. Il en est
de mˆ eme de sl(r, C) qui est la complexifi´ ee de su(r). Nous aurons besoin du lemme
suivant bien connu en th´ eorie des repr´ esentations.
6.19. Lemme. Soit ρ : sl(2, C) → End(V ) une repr´ esentation de l’alg` ebre de Lie
sl(2, C) sur un espace vectoriel complexe de dimension finie V , et soient
L = ρ(ℓ), Λ = ρ(λ), B = ρ(b) ∈ End(V )
les endomorphismes de V associ´ es aux ´ el´ ements de base de sl(2, C). Alors :
a) V =
µ∈Z V µ est somme directe (finie) des espaces propres de B, dont les
valeurs propres µ sont des entiers. Un ´ el´ ement v ∈ V µ est dit ´ el´ ement de poids
pur µ.
b) L et Λ sont nilpotents, tels que L(V µ ) ⊂ V µ+2 , Λ(V µ ) ⊂ V µ−2 pour tout µ ∈ Z.
c) On note P = Ker Λ = {v ∈ V ; Λv = 0}, qui est appel´ e ensemble des ´ el´ ements
primitifs. On a alors une d´ ecomposition en somme directe
V =
r∈N
L
r (P ).
d) V est isomorphe ` a une somme directe finie
m∈N S(m)
⊕α m de repr´ esentations
irr´ eductibles, o` u S(m) ≃ S
m (C
2 ) est la repr´ esentation de sl(2, C) induite par la
puissance sym´ etrique m-i` eme de la repr´ esentation naturelle de SL(2, C) sur C
2 ,
et α m = dim P m est la multiplicit´ e de la composante isotypique S(m).
e) Si P µ = P ∩ V µ , alors P µ = 0 pour µ > 0 et P =
µ∈Z, µ0 P µ .
L’endomorphisme L
r : P −m → V m+2r est injectif pour r m et nul pour
r > m.
f) V µ =
r∈N, rµ
L
r (P µ−2r ),
o` u
L
r : P µ−2r → L
r (P µ−2r ) est bijectif.