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J.-P. Demailly, Partie I : Th´ eorie de Hodge L 2
avec a IJKL (z) = O(|z|
2 ) en x 0 . Une int´ egration de parties analogue ` a celle
pratiqu´ ee pour obtenir (4.12) et (6.13
′′ ) donne
d
′′⋆ u = −
I,J,k
∂u I,J
∂z k
∂
∂z k
(dz I ∧ dz J ) +
I,J,K,L
b IJKL u IJ dz K ∧ dz L ,
o` u les coefficients b IJKL sont obtenus par d´ erivation des a IJKL . Par cons´ equent
nous avons b IJKL = O(|z|). Puisque ∂ω/∂z k = O(|z|), la d´ emonstration du
lemme 6.14 implique ici [d
′′⋆ , L]u = i d
′ u + O(|z|), en particulier les deux termes
co¨ ıncident au point x 0 ∈ X fix´ e d’avance.
6.16. Corollaire. Si (X, ω) est k¨ ahl´ erienne, les op´ erateurs de Laplace-Beltrami
complexes sont tels que
∆
′ = ∆
′′ =
1
2
∆.
Preuve. Montrons d’abord que ∆
′′ = ∆
′ . On a
∆
′′ = [d
′′ , d
′′⋆ ] = −i
d
′′ , [Λ, d
′ ]
.
Puisque [d
′ , d
′′ ] = 0, l’identit´ e de Jacobi (6.7) implique
−
d
′′ , [Λ, d
′ ]
+
d
′ , [d
′′ , Λ]
= 0,
donc ∆
′′ =
d
′ , −i[d
′′ , Λ]
= [d
′ , d
′⋆ ] = ∆
′ . D’autre part
∆ = [d
′ + d
′′ , d
′⋆ + d
′′⋆ ] = ∆
′ + ∆
′′ + [d
′ , d
′′⋆ ] + [d
′′ , d
′⋆ ].
Il suffit donc de prouver :
6.17. Lemme. [d
′ , d
′′⋆ ] = 0, [d
′′ , d
′⋆ ] = 0.
Preuve. Nous avons [d
′ , d
′′⋆ ] = −i
d
′ , [Λ, d
′ ]
et (6.7) implique
−
d
′ , [Λ, d
′ ]
+
Λ, [d
′ , d
′ ]
+
d
′ , [d
′ , Λ]
= 0,
donc −2
d
′ , [Λ, d
′ ]
= 0 et [d
′ , d
′′⋆ ] = 0. La deuxi` eme relation [d
′′ , d
′⋆ ] = 0 est
l’adjointe de la premi` ere.
6.18. Th´ eor` eme. Si (X, ω) est k¨ ahl´ erienne, ∆ commute avec tous les op´ erateurs
⋆, d
′ , d
′′ , d
′⋆ , d
′′⋆ , L, Λ.
Preuve. Les identit´ es [d
′ , ∆
′ ] = [d
′⋆ , ∆
′ ] = 0, [d
′′ , ∆
′′ ] = [d
′′⋆ , ∆
′′ ] = 0 et [∆, ⋆] = 0
sont imm´ ediates. De plus, l’´ egalit´ e [d
′ , L] = d
′ ω = 0 combin´ ee avec l’identit´ e de
Jacobi implique
[L, ∆
′ ] =
L, [d
′ , d
′⋆ ]
= −
d
′ , [d
′⋆ , L]
= i[d
′ , d
′′ ] = 0.
Par adjonction, nous obtenons [∆
′ , Λ] = 0.