6. Identit´ es fondamentales de la g´ eom´ etrie k¨ ahl´ erienne
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Nous ´ enon¸ cons d’abord un lemme dˆ u ` a Akizuki et Nakano [AN54].
6.14. Lemme. Dans C
n , on a [d
′′⋆ , L] = i d
′ .
Preuve. La formule (6.13
′′ ) peut se r´ ecrire plus bri` evement
d
′′⋆ u = −
k
∂
∂z k
∂u
∂z k
.
Nous obtenons alors
[d
′′⋆ , L]u = −
k
∂
∂z k
∂
∂z k
(ω ∧ u)
+ ω ∧
k
∂
∂z k
∂u
∂z k
.
Puisque ω est ` a coefficients constants, on a
∂
∂z k
(ω ∧u) = ω ∧
∂u
∂z k
et par cons´ equent
[d
′′⋆ , L] u = −
k
∂
∂z k
ω ∧
∂u
∂z k
− ω ∧
∂
∂z k
∂u
∂z k
= −
k
∂
∂z k
ω
∧
∂u
∂z k
.
Or, il est clair que
∂
∂z k
ω = −i dz k , donc
[d
′′⋆ , L] u = i
k
dz k ∧
∂u
∂z k
= i d
′ u.
Nous sommes maintenant prˆ ets pour ´ etablir les relations de commutation de
base dans le cas d’une vari´ et´ e k¨ ahl´ erienne arbitraire (X, ω).
6.15. Th´ eor` eme. Si (X, ω) est k¨ ahl´ erienne, alors
[d
′′⋆ , L]= i d
′ ,
[d
′⋆ , L]= −i d
′′ ,
[Λ, d
′′ ] = −i d
′⋆ ,
[Λ, d
′ ] = i d
′′⋆ .
Preuve. Il suffit de v´ erifier la premi` ere relation, car la seconde est la conjugu´ ee
de la premi` ere, et les relations de la deuxi` eme ligne sont adjointes de celles de
la premi` ere ligne. Si (z j ) est un syst` eme de coordonn´ ees g´ eodesiques en un point
x 0 ∈ X, alors pour toutes (p, q)-formes u, v ` a support compact dans un voisinage
de x 0 , (5.9) implique
u, v =
M
I,J
u IJ v IJ +
I,J,K,L
a IJKL u IJ v KL
dV,