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J.-P. Demailly, Partie I : Th´ eorie de Hodge L 2
6.9. Corollaire. Pour tout u ∈ Λ
p,q T
⋆
X , on a [L, Λ]u = (p + q − n)u.
Preuve. En effet, si γ = ω, les valeurs propres de γ sont γ 1 = · · · = γ n = 1.
Introduisons l’op´ erateur B = [L, Λ] tel que Bu = (p + q − n)u pour u de
bidegr´ e (p, q). Comme L est de degr´ e 2, on obtient aussitˆ ot [B, L] = 2L, et de
mˆ eme [B, Λ] = −2Λ. Ceci sugg` ere d’introduire l’alg` ebre de Lie sl(2, C) (matrices
de trace nulle, avec le crochet de commutation usuel [α, β] = αβ−βα des matrices),
dont les 3 matrices de base
(6.10)
ℓ =
0 0
1 0
,
λ =
0 1
0 0
,
b =
−1 0
0 1
v´ erifient les relations de commutation
[ℓ, λ] = b,
[b, ℓ] = 2ℓ,
[b, λ] = −2λ.
6.11. Corollaire. On a une action naturelle de l’alg` ebre de Lie sl(2, C) sur l’espace
vectoriel Λ
•,• T
⋆
X , i.e. un morphisme d’alg` ebres de Lie ρ : sl(2, C) → End(Λ
•,• T
⋆
X ),
tel que ρ(ℓ) = L, ρ(λ) = Λ, ρ(b) = B.
Nous allons maintenant expliciter d’autres identit´ es de commutation tr` es
importantes. Supposons d’abord que X = Ω ⊂ C
n soit un ouvert de C
n et que ω
soit la m´ etrique k¨ ahl´ erienne standard,
ω = i
1jn
dz j ∧ dz j .
Pour toute forme u ∈ C
∞ (Ω, Λ
p,q T
⋆
X ) on a
d
′ u =
I,J,k
∂u I,J
∂z k
dz k ∧ dz I ∧ dz J ,
(6.12
′ )
d
′′ u =
I,J,k
∂u I,J
∂z k
dz k ∧ dz I ∧ dz J .
(6.12
′′ )
Comme le produit scalaire global L
2 est donn´ e par
u, v =
Ω
I,J
u I,J v I,J dV,
des calculs faciles analogues ` a ceux de l’exemple 4.12 montrent que
d
′⋆ u = −
I,J,k
∂u I,J
∂z k
∂
∂z k
(dz I ∧ dz J ),
(6.13
′ )
d
′′⋆ u = −
I,J,k
∂u I,J
∂z k
∂
∂z k
(dz I ∧ dz J ).
(6.13
′′ )