6. Identit´ es fondamentales de la g´ eom´ etrie k¨ ahl´ erienne
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6.B. Identit´ es de commutation
Si A, B sont des endomorphismes (de degr´ e pur) du module gradu´ e M
• =
C
∞ (X, Λ
•,• T
⋆
X ), leur commutateur gradu´ e (ou crochet de Lie gradu´ e) est d´ efini
par
(6.6)
[A, B] = AB − (−1)
ab BA
o` u a, b sont les degr´ es de A et B respectivement. Si C est un autre endomorphisme
de degr´ e c, on a l’identit´ e de Jacobi purement formelle suivante :
(6.7)
(−1)
ca
A, [B, C]
+ (−1)
ab
B, [C, A]
+ (−1)
bc
C, [A, B]
= 0.
Pour tout α ∈ Λ
p,q T
⋆
X , nous d´ esignerons encore par α l’endomorphisme associ´ e de
type (p, q), op´ erant sur Λ
•,• T
⋆
X par la formule u → α ∧ u.
Soit γ ∈ Λ
1,1 T
⋆
X une (1, 1)-forme r´ eelle. Il existe une base ω-orthogonale
(ζ 1 , ζ 2 , . . . , ζ n ) de T X qui diagonalise les deux formes ω et γ simultan´ ement :
ω = i
1jn
ζ
⋆
j ∧ ζ
⋆
j , γ = i
1jn
γ j ζ
⋆
j ∧ ζ
⋆
j , γ j ∈ R.
6.8. Proposition. Pour toute forme u =
u J,K ζ
⋆
J ∧ ζ
⋆
K , on a
[γ, Λ]u =
J,K
j∈J
γ j +
j∈K
γ j −
1jn
γ j
u J,K ζ
⋆
J ∧ ζ
⋆
K .
Preuve. Si u est de type (p, q), un calcul brutal donne
Λu = i(−1)
p
J,K,l
u J,K (ζ l ζ
⋆
J ) ∧ (ζ l ζ
⋆
K ), 1 l n,
γ ∧ u = i(−1)
p
J,K,m
γ m u J,K ζ
⋆
m ∧ ζ
⋆
J ∧ ζ
⋆
m ∧ ζ
⋆
K , 1 m n,
[γ, Λ]u =
J,K,l,m
γ m u J,K
ζ
⋆
l ∧ (ζ m ζ
⋆
J )
∧
ζ
⋆
l ∧ (ζ m ζ
⋆
K )
−
ζ m (ζ
⋆
l ∧ ζ
⋆
J )
∧
ζ m (ζ
⋆
l ∧ ζ
⋆
K )
=
J,K,m
γ m u J,K
ζ
⋆
m ∧ (ζ m ζ
⋆
J ) ∧ ζ
⋆
K
+ ζ
⋆
J ∧ ζ
⋆
m ∧ (ζ m ζ
⋆
K ) − ζ
⋆
J ∧ ζ
⋆
K
=
J,K
m∈J
γ m +
m∈K
γ m −
1mn
γ m
u J,K ζ
⋆
J ∧ ζ
⋆
K .