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J.-P. Demailly, Partie I : Th´ eorie de Hodge L 2
6.A. Op´ erateurs de la g´ eom´ etrie hermitienne
Soit (X, ω) une vari´ et´ e hermitienne et soient z j = x j + iy j , 1 j n, des
coordonn´ ees C-analytiques en un point a ∈ X, telles que ω(a) = i
dz j ∧ dz j soit
diagonalis´ ee en ce point. La forme hermitienne associ´ ee est h(a) = 2
dz j ⊗ dz j
et sa partie r´ eelle est la m´ etrique euclidienne 2
(dx j )
2 + (dy j )
2 . Il s’ensuit que
|dx j | = |dy j | = 1/
√
2, |dz j | = |dz j | = 1, et que (∂/∂z 1 , . . . , ∂/∂z n ) est une base
orthonorm´ ee de (T
⋆
a X, ω). La formule (4.1) pour u j , v k dans la somme orthogonale
(C ⊗ T X )
⋆ = T
⋆
X ⊕ T ⋆
X d´ efinit un produit scalaire naturel sur l’alg` ebre ext´ erieure
Λ
• (C ⊗ T X )
⋆ . La norme d’une forme
u =
I,J
u I,J dz I ∧ dz J ∈ Λ
• (C ⊗ T X )
⋆
au point a est alors donn´ ee par
(6.1)
|u(a)|
2 =
I,J
|u I,J (a)|
2 .
L’op´ erateur ⋆ de Hodge (4.2) peut ˆ etre ´ etendu aux formes ` a valeurs complexes par
la formule
(6.2)
u ∧ ⋆v = u, v dV.
Il s’ensuit que ⋆ est une isom´ etrie C-lin´ eaire
⋆ : Λ
p,q T
⋆
X −→ Λ
n−q,n−p T
⋆
X .
Les op´ erateurs usuels de la g´ eom´ etrie hermitienne sont les op´ erateurs d, δ = −⋆d ⋆ ,
le laplacien ∆ = dδ + δd d´ ej` a d´ efinis, et leurs analogues complexes
(6.3)
d = d
′ + d
′′ ,
δ = d
′⋆ + d
′′⋆ , d
′⋆ = (d
′ )
⋆ = − ⋆ d
′′ ⋆, d
′′⋆ = (d
′′ )
⋆ = − ⋆ d
′ ⋆,
∆
′ = d
′ d
′⋆ + d
′⋆ d
′ , ∆
′′ = d
′′ d
′′⋆ + d
′′⋆ d
′′ .
On dira qu’un op´ erateur est de degr´ e pur r s’il transforme une forme de degr´ e k
en une forme de degr´ e k + r, et de mˆ eme, un op´ erateur de bidegr´ e pur (s, t) est un
op´ erateur qui transforme les (p, q)-formes en formes de bidegr´ e (p + s, q + t) (son
degr´ e total est alors bien entendu r = s +t). Ainsi d
′ , d
′′ , d
′⋆ , d
′′⋆ , ∆
′ , ∆
′′ sont de
bidegr´ es respectifs (1, 0), (0, 1), (−1, 0), (0, −1), (0, 0), (0, 0). Un autre op´ erateur
important est l’op´ erateur L de bidegr´ e (1, 1) d´ efini par
(6.4)
Lu = ω ∧ u,
et son adjoint Λ = L
⋆ = ⋆
−1 L ⋆ de bidegr´ e (−1, −1) :
(6.5)
u, Λv = Lu, v.
Observons que le groupe unitaire U (T X ) ≃ U (n) poss` ede une action naturelle sur
l’espace des (p, q)-formes, donn´ ee par
U (n) × Λ
p,q T
⋆
X ∋ (g, v) −→ (g
−1 )
⋆ v.
Cette action fait de Λ
p,q T
⋆
X une repr´ esentation unitaire de U (n). Comme la
m´ etrique ω est invariante, il est clair que L et Λ commutent ` a l’action de U (n).
J.-P. Demailly, Partie I : Th´ eorie de Hodge L 2
6.A. Op´ erateurs de la g´ eom´ etrie hermitienne
Soit (X, ω) une vari´ et´ e hermitienne et soient z j = x j + iy j , 1 j n, des
coordonn´ ees C-analytiques en un point a ∈ X, telles que ω(a) = i
dz j ∧ dz j soit
diagonalis´ ee en ce point. La forme hermitienne associ´ ee est h(a) = 2
dz j ⊗ dz j
et sa partie r´ eelle est la m´ etrique euclidienne 2
(dx j )
2 + (dy j )
2 . Il s’ensuit que
|dx j | = |dy j | = 1/
√
2, |dz j | = |dz j | = 1, et que (∂/∂z 1 , . . . , ∂/∂z n ) est une base
orthonorm´ ee de (T
⋆
a X, ω). La formule (4.1) pour u j , v k dans la somme orthogonale
(C ⊗ T X )
⋆ = T
⋆
X ⊕ T ⋆
X d´ efinit un produit scalaire naturel sur l’alg` ebre ext´ erieure
Λ
• (C ⊗ T X )
⋆ . La norme d’une forme
u =
I,J
u I,J dz I ∧ dz J ∈ Λ
• (C ⊗ T X )
⋆
au point a est alors donn´ ee par
(6.1)
|u(a)|
2 =
I,J
|u I,J (a)|
2 .
L’op´ erateur ⋆ de Hodge (4.2) peut ˆ etre ´ etendu aux formes ` a valeurs complexes par
la formule
(6.2)
u ∧ ⋆v = u, v dV.
Il s’ensuit que ⋆ est une isom´ etrie C-lin´ eaire
⋆ : Λ
p,q T
⋆
X −→ Λ
n−q,n−p T
⋆
X .
Les op´ erateurs usuels de la g´ eom´ etrie hermitienne sont les op´ erateurs d, δ = −⋆d ⋆ ,
le laplacien ∆ = dδ + δd d´ ej` a d´ efinis, et leurs analogues complexes
(6.3)
d = d
′ + d
′′ ,
δ = d
′⋆ + d
′′⋆ , d
′⋆ = (d
′ )
⋆ = − ⋆ d
′′ ⋆, d
′′⋆ = (d
′′ )
⋆ = − ⋆ d
′ ⋆,
∆
′ = d
′ d
′⋆ + d
′⋆ d
′ , ∆
′′ = d
′′ d
′′⋆ + d
′′⋆ d
′′ .
On dira qu’un op´ erateur est de degr´ e pur r s’il transforme une forme de degr´ e k
en une forme de degr´ e k + r, et de mˆ eme, un op´ erateur de bidegr´ e pur (s, t) est un
op´ erateur qui transforme les (p, q)-formes en formes de bidegr´ e (p + s, q + t) (son
degr´ e total est alors bien entendu r = s +t). Ainsi d
′ , d
′′ , d
′⋆ , d
′′⋆ , ∆
′ , ∆
′′ sont de
bidegr´ es respectifs (1, 0), (0, 1), (−1, 0), (0, −1), (0, 0), (0, 0). Un autre op´ erateur
important est l’op´ erateur L de bidegr´ e (1, 1) d´ efini par
(6.4)
Lu = ω ∧ u,
et son adjoint Λ = L
⋆ = ⋆
−1 L ⋆ de bidegr´ e (−1, −1) :
(6.5)
u, Λv = Lu, v.
Observons que le groupe unitaire U (T X ) ≃ U (n) poss` ede une action naturelle sur
l’espace des (p, q)-formes, donn´ ee par
U (n) × Λ
p,q T
⋆
X ∋ (g, v) −→ (g
−1 )
⋆ v.
Cette action fait de Λ
p,q T
⋆
X une repr´ esentation unitaire de U (n). Comme la
m´ etrique ω est invariante, il est clair que L et Λ commutent ` a l’action de U (n).