6. Identit´ es fondamentales de la g´ eom´ etrie k¨ ahl´ erienne
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Alors (z m ) est un syst` eme de coordonn´ ee locales en x 0 , et
dz m = dζ m +
j,l
a jlm ζ j dζ l ,
i
m
dz m ∧ dz m = i
m
dζ m ∧ dζ m + i
j,l,m
a jlm ζ j dζ l ∧ dζ m
+ i
j,l,m
a jlm ζ j dζ m ∧ dζ l + O(|ζ|
2 )
= i
l,m
ω lm dζ l ∧ dζ m + O(|ζ|
2 ) = ω + O(|z|
2 ).
La condition (5.9) est demontr´ ee. Supposons les coordonn´ ees (ζ m ) choisies depuis
le d´ ebut en sorte que (5.9) ait lieu pour (ζ m ). Poursuivons alors le d´ eveloppement
de Taylor (5.12) ` a l’ordre deux
ω lm = δ lm + O(|ζ|
2 ))
= δ lm +
j,k
a jklm ζ j ζ k + a
′
jklm ζ j ζ k + a
′′
jklm ζ j ζ k
+ O(|ζ|
3 ).
(5.13)
Les nouveaux coefficients introduits satisfont la relation
a
′
jklm = a
′
kjlm , a
′′
jklm = a
′
jkml , a jklm = a kjml .
La condition de k¨ ahl´ erianit´ e ∂ω lm /∂ζ j = ∂ω jm /∂ζ l en ζ = 0 fournit l’´ egalit´ e
a
′
jklm = a
′
lkjm ; en particulier a
′
jklm est invariant par toute permutation de j, k, l.
Si on pose
z m = ζ m +
1
3
j,k,l
a
′
jklm ζ j ζ k ζ l ,
1 m n,
alors grˆ ace ` a (5.13) on trouve
dz m = dζ m +
j,k,l
a
′
jklm ζ j ζ k dζ l , 1 m n,
ω = i
1mn
dz m ∧ dz m + i
j,k,l,m
a jklm ζ j ζ k dζ l ∧ dζ m + O(|ζ|
3 ),
ω = i
1mn
dz m ∧ dz m + i
j,k,l,m
a jklm z j z k dz l ∧ dz m + O(|z|
3 ).
(5.14)
Il est maintenant facile de calculer le tenseur de courbure de Chern Θ(T X ) x 0 en
termes des coefficients a jklm et de v´ erifier que c jklm = −a jklm . Nous laissons cette
v´ erification au lecteur ` a titre d’exercice.
6. Identit´ es fondamentales de la g´ eom´ etrie k¨ ahl´ erienne