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J.-P. Demailly, Partie I : Th´ eorie de Hodge L 2
o` u λ, λ 1 , λ 2 sont des nombres complexes tels que 0 < |λ 1 | |λ 2 | < 1, 0 < |λ| < 1,
et p un entier positif. Ces surfaces non k¨ ahl´ eriennes sont appel´ ees surfaces de Hopf.
Le th´ eor` eme suivant montre qu’une m´ etrique hermitienne ω sur X est
k¨ ahl´ erienne si et seulement si la m´ etrique ω est tangente ` a l’ordre 2 ` a une m´ etrique
hermitienne ` a coefficients constants en tout point de X.
5.8. Th´ eor` eme. Soit ω une (1, 1)-forme C
∞ d´ efinie positive sur X. Pour que ω
soit k¨ ahl´ erienne, il faut et il suffit qu’en tout point x 0 ∈ X il existe un syst` eme de
coordonn´ ees holomorphes (z 1 , . . . , z n ) centr´ e en x 0 tel que
(5.9)
ω = i
1l,mn
ω lm dz l ∧ dz m , ω lm = δ lm + O(|z|
2 ).
Si ω est k¨ ahl´ erienne, les coordonn´ ees (z j ) 1jn peuvent en fait ˆ etre choisies telles
que
(5.10)
ω lm =
∂
∂z l
,
∂
∂z m
= δ lm −
1j,kn
c jklm z j z k + O(|z|
3 ),
o` u (c jklm ) sont les coefficients du tenseur de courbure de Chern
(5.11)
Θ(T X ) x 0 =
j,k,l,m
c jklm dz j ∧ dz k ⊗
∂
∂z l
⋆
⊗
∂
∂z m
associ´ e ` a (T X , ω) en x 0 . Un tel syst` eme (z j ) sera appel´ e syst` eme de coordonn´ ees
g´ eod´ esiques en x 0 .
Preuve. Il est clair que (5.9) implique d x 0 ω = 0, par suite la condition est
suffisante. Supposons maintenant que ω soit k¨ ahl´ erienne. Alors on peut choisir
des coordonn´ ees locales (ζ 1 , . . . , ζ n ) telles que (dζ 1 , . . . , dζ n ) soit une base ωorthonorm´ ee de T
⋆
x 0 X. Par cons´ equent
ω = i
1l,mn
ω lm dζ l ∧ dζ m , o` u
ω lm = δ lm + O(|ζ|) = δ lm +
1jn
(a jlm ζ j + a
′
jlm ζ j ) + O(|ζ|
2 ).
(5.12)
Puisque ω est r´ eelle, nous avons a
′
jlm = a jml ; d’autre part la condition de
k¨ ahl´ erianit´ e ∂ω lm /∂ζ j = ∂ω jm /∂ζ l en x 0 implique a jlm = a ljm . Posons maintenant
z m = ζ m +
1
2
j,l
a jlm ζ j ζ l , 1 m n.
J.-P. Demailly, Partie I : Th´ eorie de Hodge L 2
o` u λ, λ 1 , λ 2 sont des nombres complexes tels que 0 < |λ 1 | |λ 2 | < 1, 0 < |λ| < 1,
et p un entier positif. Ces surfaces non k¨ ahl´ eriennes sont appel´ ees surfaces de Hopf.
Le th´ eor` eme suivant montre qu’une m´ etrique hermitienne ω sur X est
k¨ ahl´ erienne si et seulement si la m´ etrique ω est tangente ` a l’ordre 2 ` a une m´ etrique
hermitienne ` a coefficients constants en tout point de X.
5.8. Th´ eor` eme. Soit ω une (1, 1)-forme C
∞ d´ efinie positive sur X. Pour que ω
soit k¨ ahl´ erienne, il faut et il suffit qu’en tout point x 0 ∈ X il existe un syst` eme de
coordonn´ ees holomorphes (z 1 , . . . , z n ) centr´ e en x 0 tel que
(5.9)
ω = i
1l,mn
ω lm dz l ∧ dz m , ω lm = δ lm + O(|z|
2 ).
Si ω est k¨ ahl´ erienne, les coordonn´ ees (z j ) 1jn peuvent en fait ˆ etre choisies telles
que
(5.10)
ω lm =
∂
∂z l
,
∂
∂z m
= δ lm −
1j,kn
c jklm z j z k + O(|z|
3 ),
o` u (c jklm ) sont les coefficients du tenseur de courbure de Chern
(5.11)
Θ(T X ) x 0 =
j,k,l,m
c jklm dz j ∧ dz k ⊗
∂
∂z l
⋆
⊗
∂
∂z m
associ´ e ` a (T X , ω) en x 0 . Un tel syst` eme (z j ) sera appel´ e syst` eme de coordonn´ ees
g´ eod´ esiques en x 0 .
Preuve. Il est clair que (5.9) implique d x 0 ω = 0, par suite la condition est
suffisante. Supposons maintenant que ω soit k¨ ahl´ erienne. Alors on peut choisir
des coordonn´ ees locales (ζ 1 , . . . , ζ n ) telles que (dζ 1 , . . . , dζ n ) soit une base ωorthonorm´ ee de T
⋆
x 0 X. Par cons´ equent
ω = i
1l,mn
ω lm dζ l ∧ dζ m , o` u
ω lm = δ lm + O(|ζ|) = δ lm +
1jn
(a jlm ζ j + a
′
jlm ζ j ) + O(|ζ|
2 ).
(5.12)
Puisque ω est r´ eelle, nous avons a
′
jlm = a jml ; d’autre part la condition de
k¨ ahl´ erianit´ e ∂ω lm /∂ζ j = ∂ω jm /∂ζ l en x 0 implique a jlm = a ljm . Posons maintenant
z m = ζ m +
1
2
j,l
a jlm ζ j ζ l , 1 m n.