5. Vari´ et´ es hermitiennes et k¨ ahl´ eriennes
27
b) Si X est k¨ ahl´ erienne compacte, alors H
2k (X, R) = 0 pour 0 k n. En effet,
{ω}
k est une classe non nulle de H
2k (X, R).
5.4. Exemple. L’espace projectif complexe P
n poss` ede une m´ etrique k¨ ahl´ erienne
ω naturelle, appel´ ee m´ etrique de Fubini-Study, d´ efinie par
p
⋆ ω =
i
2π
d
′ d
′′ log
|ζ 0 |
2 + |ζ 1 |
2 + · · · + |ζ n |
2
o` u ζ 0 , ζ 1 , . . . , ζ n sont les coordonn´ ees de C
n+1 et o` u p : C
n+1 \ {0} → P
n est la
projection. Soit z = (ζ 1 /ζ 0 , . . . , ζ n /ζ 0 ) les coordonn´ ees non homog` enes de la carte
C
n ⊂ P
n . Un calcul montre que
ω =
i
2π
d
′ d
′′ log(1 + |z|
2 ) =
i
2π
Θ(O(1)),
P n
ω
n = 1.
Comme les seuls groupes de cohomologie enti` ere non nuls de P
n sont H
2p (P, Z) ≃ Z
pour 0 p n, nous voyons que h = {ω} ∈ H
2 (P
n , Z) est un g´ en´ erateur de
l’anneau de cohomologie H
• (P
n , Z). En d’autres termes, H
• (P
n , Z) ≃ Z[h]/(h
n+1 )
comme anneau.
5.5. Exemple. Un tore complexe est un quotient X = C
n /Γ de C
n par un r´ eseau
Γ de rang 2n. C’est donc une vari´ et´ e complexe compacte. Toute forme hermitienne
d´ efinie positive ω = i
h jk dz j ∧ dz k ` a coefficients constants sur C
n d´ efinit une
m´ etrique k¨ ahl´ erienne sur X.
5.6. Exemple. Toute sous-vari´ et´ e complexe X d’une vari´ et´ e k¨ ahl´ erienne (Y, ω
′ )
est k¨ ahl´ erienne pour la m´ etrique induite ω = ω
′
↾X . En particulier, toute vari´ et´ e
projective est k¨ ahl´ erienne (par d´ efinition, une vari´ et´ e projective est une sousvari´ et´ e ferm´ ee X ⊂ P
n d’un espace projectif) ; dans ce cas, si ω
′ d´ esigne la
m´ etrique de Fubini-Study sur P
n , nous avons la propri´ et´ e suppl´ ementaire que
la classe {ω} := {ω
′ } ↾X ∈ H
2
DR (X, R) est enti` ere, i.e., est l’image d’une classe
enti` ere de H
2 (X, Z). Une m´ etrique k¨ ahl´ erienne ω de classe de cohomologie enti` ere
est appel´ ee m´ etrique de Hodge.
5.7. Exemple. Consid´ erons la surface complexe
X = (C
2 \ {0})/Γ
o` u Γ = {λ
n ; n ∈ Z}, λ ∈ ]0, 1[, est vu comme groupe d’homoth´ eties. Puisque
C
2 \ {0} est diff´ eomorphe ` a R
⋆
+ × S
3 , nous avons X ≃ S
1 × S
3 . Par cons´ equent
H
2 (X, R) = 0 grˆ ace ` a la formule de K¨ unneth, et la propri´ et´ e 5.3 b) montre que
X n’est pas k¨ ahl´ erienne. Plus g´ en´ eralement, on peut prendre pour Γ un groupe
cyclique infini engendr´ e par des contractions holomorphes de C
2 , de la forme
z 1
z 2
−→
λ 1 z 1
λ 2 z 2
,
resp.
z 1
z 2
−→
λz 1
λz 2 + z
p
1
,
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b) Si X est k¨ ahl´ erienne compacte, alors H
2k (X, R) = 0 pour 0 k n. En effet,
{ω}
k est une classe non nulle de H
2k (X, R).
5.4. Exemple. L’espace projectif complexe P
n poss` ede une m´ etrique k¨ ahl´ erienne
ω naturelle, appel´ ee m´ etrique de Fubini-Study, d´ efinie par
p
⋆ ω =
i
2π
d
′ d
′′ log
|ζ 0 |
2 + |ζ 1 |
2 + · · · + |ζ n |
2
o` u ζ 0 , ζ 1 , . . . , ζ n sont les coordonn´ ees de C
n+1 et o` u p : C
n+1 \ {0} → P
n est la
projection. Soit z = (ζ 1 /ζ 0 , . . . , ζ n /ζ 0 ) les coordonn´ ees non homog` enes de la carte
C
n ⊂ P
n . Un calcul montre que
ω =
i
2π
d
′ d
′′ log(1 + |z|
2 ) =
i
2π
Θ(O(1)),
P n
ω
n = 1.
Comme les seuls groupes de cohomologie enti` ere non nuls de P
n sont H
2p (P, Z) ≃ Z
pour 0 p n, nous voyons que h = {ω} ∈ H
2 (P
n , Z) est un g´ en´ erateur de
l’anneau de cohomologie H
• (P
n , Z). En d’autres termes, H
• (P
n , Z) ≃ Z[h]/(h
n+1 )
comme anneau.
5.5. Exemple. Un tore complexe est un quotient X = C
n /Γ de C
n par un r´ eseau
Γ de rang 2n. C’est donc une vari´ et´ e complexe compacte. Toute forme hermitienne
d´ efinie positive ω = i
h jk dz j ∧ dz k ` a coefficients constants sur C
n d´ efinit une
m´ etrique k¨ ahl´ erienne sur X.
5.6. Exemple. Toute sous-vari´ et´ e complexe X d’une vari´ et´ e k¨ ahl´ erienne (Y, ω
′ )
est k¨ ahl´ erienne pour la m´ etrique induite ω = ω
′
↾X . En particulier, toute vari´ et´ e
projective est k¨ ahl´ erienne (par d´ efinition, une vari´ et´ e projective est une sousvari´ et´ e ferm´ ee X ⊂ P
n d’un espace projectif) ; dans ce cas, si ω
′ d´ esigne la
m´ etrique de Fubini-Study sur P
n , nous avons la propri´ et´ e suppl´ ementaire que
la classe {ω} := {ω
′ } ↾X ∈ H
2
DR (X, R) est enti` ere, i.e., est l’image d’une classe
enti` ere de H
2 (X, Z). Une m´ etrique k¨ ahl´ erienne ω de classe de cohomologie enti` ere
est appel´ ee m´ etrique de Hodge.
5.7. Exemple. Consid´ erons la surface complexe
X = (C
2 \ {0})/Γ
o` u Γ = {λ
n ; n ∈ Z}, λ ∈ ]0, 1[, est vu comme groupe d’homoth´ eties. Puisque
C
2 \ {0} est diff´ eomorphe ` a R
⋆
+ × S
3 , nous avons X ≃ S
1 × S
3 . Par cons´ equent
H
2 (X, R) = 0 grˆ ace ` a la formule de K¨ unneth, et la propri´ et´ e 5.3 b) montre que
X n’est pas k¨ ahl´ erienne. Plus g´ en´ eralement, on peut prendre pour Γ un groupe
cyclique infini engendr´ e par des contractions holomorphes de C
2 , de la forme
z 1
z 2
−→
λ 1 z 1
λ 2 z 2
,
resp.
z 1
z 2
−→
λz 1
λz 2 + z
p
1
,