26
J.-P. Demailly, Partie I : Th´ eorie de Hodge L 2
5. Vari´ et´ es hermitiennes et k¨ ahl´ eriennes
Soit X une vari´ et´ e complexe de dimension n. Une m´ etrique hermitienne sur X
est une forme hermitienne d´ efinie positive de classe C
∞ sur T X ; dans un syst` eme
de coordonn´ ees (z 1 , . . . , z n ), une telle forme peut s’´ ecrire
h(z) =
1j,kn
h jk (z) dz j ⊗ dz k ,
o` u (h jk ) est une matrice hermitienne positive ` a coefficients C
∞ . La (1, 1)-forme
fondamentale associ´ ee ` a h est
ω = − Im h =
i
2
h jk dz j ∧ dz k , 1 j, k n.
5.1. D´ efinition.
a) Une vari´ et´ e hermitienne est un couple (X, ω) o` u ω est une (1, 1)-forme C
∞
d´ efinie positive sur X.
b) La m´ etrique ω est dite k¨ ahl´ erienne si dω = 0.
c) X est appel´ ee vari´ et´ e k¨ ahl´ erienne si X poss` ede au moins une m´ etrique
k¨ ahl´ erienne.
Puisque ω est r´ eelle, les conditions dω = 0, d
′ ω = 0, d
′′ ω = 0 sont toutes
´ equivalentes. En coordonn´ ees locales, on voit que d
′ ω = 0 si et seulement si
∂h jk
∂z l
=
∂h lk
∂z j
,
1 j, k, l n.
Un calcul simple donne
ω
n
n!
= det(h jk )
1jn
i
2
dz j ∧ dz j
= det(h jk ) dx 1 ∧ dy 1 ∧ · · · ∧ dx n ∧ dy n ,
o` u z n = x n + iy n . Par cons´ equent la (n, n)-forme
(5.2)
dV =
1
n!
ω
n
est positive et co¨ ıncide avec l’´ el´ ement de volume hermitien de X. Si X est
compacte, alors
X
ω
n = n! Vol ω (X) > 0. Cette remarque simple implique
d´ ej` a qu’une vari´ et´ e k¨ ahl´ erienne compacte doit satisfaire certaines conditions
topologiques restrictives :
5.3. Cons´ equence.
a) Si (X, ω) est k¨ ahl´ erienne compacte et si {ω} d´ esigne la classe de cohomologie
de ω dans H
2 (X, R), alors {ω}
n = 0.