5. Vari´ et´ es hermitiennes et k¨ ahl´ eriennes
25
Nous appliquons maintenant le th. 3.10 ` a l’op´ erateur elliptique ∆ E = ∆
⋆
E agissant
sur les p-formes, i.e. l’op´ erateur ∆ E : C
∞ (M, F ) → C
∞ (M, F ) agissant sur le fibr´ e
F = Λ
p T
⋆
M ⊗ E. Nous obtenons
C
∞ (M, Λ
p T
⋆
M ⊗ E) = H
p (M, E) ⊕ ∆ E
C
∞ (M, Λ
p T
⋆
M ⊗ E)
,
Im ∆ E = Im(D E D
⋆
E + D
⋆
E D E ) ⊂ Im D E + Im D
⋆
E .
D’autre part, comme Im D E et Im D
⋆
E sont orthogonaux ` a H
p (M, E), ces espaces
sont contenus dans Im ∆ E .
4.17. Th´ eor` eme d’isomorphisme de Hodge. Les groupes de cohomologie de
De Rham H
p
DR (M, E) sont de dimension finie et H
p
DR (M, E) ≃ H
p (M, E).
Preuve. Grˆ ace ` a la d´ ecomposition (4.16), nous obtenons
B
p
DR (M, E) = D E
C
∞ (M, Λ
p−1 T
⋆
M ⊗ E)
,
Z
p
DR (M, E) = Ker D E = (Im D
⋆
E )
⊥ = H
p (M, E) ⊕ Im D E .
Ceci montre que toute classe de cohomologie de De Rham contient un unique
repr´ esentant harmonique.
4.18. Dualit´ e de Poincar´ e. L’accouplement
H
p
DR (M, E) × H
m−p
DR (M, E
⋆ ) −→ C, (s, t) −→
M
s ∧ t
est une forme bilin´ eaire non d´ eg´ en´ er´ ee, et d´ efinit donc une dualit´ e entre H
p
DR (M, E)
et H
m−p
DR (M, E
⋆ ).
Preuve. Notons d’abord qu’il existe une connexion plate D E ⋆ naturellement d´ efinie
telle que pour tout s ∈ C
∞ (M, Λ
• T
⋆
M ⊗ E), t ∈ C
∞ (M, Λ
• T
⋆
M ⊗ E
⋆ ) on ait
(4.19)
d(s ∧ t) = (D E s) ∧ t + (−1)
deg s s ∧ D E ⋆ t.
Il r´ esulte alors de la formule de Stokes que l’application bilin´ eaire (s, t) →
M
s ∧ t
peut se factoriser aux groupes de cohomologie. Soit s ∈ C
∞ (M, Λ
p T
⋆
M ⊗ E). Nous
laissons au lecteur le soin de prouver les formules suivantes (utiliser (4.19) de fa¸ con
analogue ` a ce qui a ´ et´ e fait pour la preuve du th. 4.11) :
(4.20)
D E ⋆ (# s) = (−1)
p # D
⋆
E s, (D E ⋆ )
⋆ (# s) = (−1)
p+1 # D E s, ∆ E ⋆ (# s) = # ∆ E s,
Par cons´ equent #s ∈ H
m−p (M, E
⋆ ) si et seulement si s ∈ H
p (M, E). Puisque
M
s ∧ # s =
M
|s|
2 dV = s
2 ,
nous voyons que l’accouplement de Poincar´ e a un noyau trivial dans le facteur de
gauche H
p (M, E) ≃ H
p
DR (M, E). Par sym´ etrie, il a aussi un noyau trivial ` a droite.
La preuve est achev´ ee.
25
Nous appliquons maintenant le th. 3.10 ` a l’op´ erateur elliptique ∆ E = ∆
⋆
E agissant
sur les p-formes, i.e. l’op´ erateur ∆ E : C
∞ (M, F ) → C
∞ (M, F ) agissant sur le fibr´ e
F = Λ
p T
⋆
M ⊗ E. Nous obtenons
C
∞ (M, Λ
p T
⋆
M ⊗ E) = H
p (M, E) ⊕ ∆ E
C
∞ (M, Λ
p T
⋆
M ⊗ E)
,
Im ∆ E = Im(D E D
⋆
E + D
⋆
E D E ) ⊂ Im D E + Im D
⋆
E .
D’autre part, comme Im D E et Im D
⋆
E sont orthogonaux ` a H
p (M, E), ces espaces
sont contenus dans Im ∆ E .
4.17. Th´ eor` eme d’isomorphisme de Hodge. Les groupes de cohomologie de
De Rham H
p
DR (M, E) sont de dimension finie et H
p
DR (M, E) ≃ H
p (M, E).
Preuve. Grˆ ace ` a la d´ ecomposition (4.16), nous obtenons
B
p
DR (M, E) = D E
C
∞ (M, Λ
p−1 T
⋆
M ⊗ E)
,
Z
p
DR (M, E) = Ker D E = (Im D
⋆
E )
⊥ = H
p (M, E) ⊕ Im D E .
Ceci montre que toute classe de cohomologie de De Rham contient un unique
repr´ esentant harmonique.
4.18. Dualit´ e de Poincar´ e. L’accouplement
H
p
DR (M, E) × H
m−p
DR (M, E
⋆ ) −→ C, (s, t) −→
M
s ∧ t
est une forme bilin´ eaire non d´ eg´ en´ er´ ee, et d´ efinit donc une dualit´ e entre H
p
DR (M, E)
et H
m−p
DR (M, E
⋆ ).
Preuve. Notons d’abord qu’il existe une connexion plate D E ⋆ naturellement d´ efinie
telle que pour tout s ∈ C
∞ (M, Λ
• T
⋆
M ⊗ E), t ∈ C
∞ (M, Λ
• T
⋆
M ⊗ E
⋆ ) on ait
(4.19)
d(s ∧ t) = (D E s) ∧ t + (−1)
deg s s ∧ D E ⋆ t.
Il r´ esulte alors de la formule de Stokes que l’application bilin´ eaire (s, t) →
M
s ∧ t
peut se factoriser aux groupes de cohomologie. Soit s ∈ C
∞ (M, Λ
p T
⋆
M ⊗ E). Nous
laissons au lecteur le soin de prouver les formules suivantes (utiliser (4.19) de fa¸ con
analogue ` a ce qui a ´ et´ e fait pour la preuve du th. 4.11) :
(4.20)
D E ⋆ (# s) = (−1)
p # D
⋆
E s, (D E ⋆ )
⋆ (# s) = (−1)
p+1 # D E s, ∆ E ⋆ (# s) = # ∆ E s,
Par cons´ equent #s ∈ H
m−p (M, E
⋆ ) si et seulement si s ∈ H
p (M, E). Puisque
M
s ∧ # s =
M
|s|
2 dV = s
2 ,
nous voyons que l’accouplement de Poincar´ e a un noyau trivial dans le facteur de
gauche H
p (M, E) ≃ H
p
DR (M, E). Par sym´ etrie, il a aussi un noyau trivial ` a droite.
La preuve est achev´ ee.