24
J.-P. Demailly, Partie I : Th´ eorie de Hodge L 2
d´ etermin´ es par leur symbole principal (aucun terme d’ordre plus bas ne peut
apparaˆ ıtre). Nous trouvons alors ais´ ement
s =
|I|=p
s I dx I , ds =
|I|=p,j
∂s I
∂x j
dx j ∧ dx I ,
d
⋆ s = −
I,j
∂s I
∂x j
∂
∂x j
dx I ,
∆s = −
I
j
∂
2 s I
∂x 2
j
dx I .
Par suite, ∆ a la mˆ eme expression que l’op´ erateur de Laplace ´ el´ ementaire, au signe
moins pr` es.
4.C. Formes harmoniques et isomorphisme de Hodge
Soit E un fibr´ e vectoriel hermitien sur une vari´ et´ e riemannienne compacte
(M, g). Nous supposons que E poss` ede une connexion hermitienne D E telle que
Θ(D E ) = D
2
E = 0. Une telle connexion est dite int´ egrable ou plate. Il est
bien connu que ceci ´ equivaut ` a ce que E soit donn´ e par une repr´ esentation
π 1 (M ) → U (r) ; un tel fibr´ e est appel´ e fibr´ e plat ou syst` eme local de coefficients.
Un exemple fondamental est bien sˆ ur le fibr´ e trivial E = M × C avec sa connexion
´ evidente D E = d. Grˆ ace ` a cette hypoth` ese, D E d´ efinit un complexe de De Rham
g´ en´ eralis´ e
C
∞ (M, E)
D E
−→ C
∞ (M, Λ
1 T
⋆
M ⊗ E) −→ · · · −→ C
∞ (M, Λ
p T
⋆
M ⊗ E)
D E
−→ · · · .
Les groupes de cohomologie de ce complexe seront not´ es H
p
DR (M, E).
L’espace des formes harmoniques de degr´ e p relativement ` a l’op´ erateur de
Laplace-Beltrami ∆ E = D E D
⋆
E + D
⋆
E D E est d´ efini par
(4.15)
H
p (M, E) =
s ∈ C
∞ (M, Λ
p T
⋆
M ⊗ E) ; ∆ E s = 0
.
Comme ∆ E s, s = ||D E s||
2 + ||D
⋆
E s||
2 , nous voyons que s ∈ H
p (M, E) si et
seulement si D E s = D
⋆
E s = 0.
4.16. Th´ eor` eme. Pour tout p, il existe une d´ ecomposition orthogonale
C
∞ (M, Λ
p T
⋆
M ⊗ E) = H
p (M, E) ⊕ Im D E ⊕ Im D
⋆
E ,
o` u
Im D E = D E
C
∞ (M, Λ
p−1 T
⋆
M ⊗ E)
,
Im D
⋆
E = D
⋆
E
C
∞ (M, Λ
p+1 T
⋆
M ⊗ E)
.
Preuve. Il est imm´ ediat que H
p (M, E) est orthogonal aux deux sous-espaces Im D E
et Im D
⋆
E . L’orthogonalit´ e de ces deux sous-espaces est elle aussi ´ evidente, grˆ ace ` a
l’hypoth` ese D
2
E = 0 :
D E s, D
⋆
E t = D
2
E s, t = 0.
J.-P. Demailly, Partie I : Th´ eorie de Hodge L 2
d´ etermin´ es par leur symbole principal (aucun terme d’ordre plus bas ne peut
apparaˆ ıtre). Nous trouvons alors ais´ ement
s =
|I|=p
s I dx I , ds =
|I|=p,j
∂s I
∂x j
dx j ∧ dx I ,
d
⋆ s = −
I,j
∂s I
∂x j
∂
∂x j
dx I ,
∆s = −
I
j
∂
2 s I
∂x 2
j
dx I .
Par suite, ∆ a la mˆ eme expression que l’op´ erateur de Laplace ´ el´ ementaire, au signe
moins pr` es.
4.C. Formes harmoniques et isomorphisme de Hodge
Soit E un fibr´ e vectoriel hermitien sur une vari´ et´ e riemannienne compacte
(M, g). Nous supposons que E poss` ede une connexion hermitienne D E telle que
Θ(D E ) = D
2
E = 0. Une telle connexion est dite int´ egrable ou plate. Il est
bien connu que ceci ´ equivaut ` a ce que E soit donn´ e par une repr´ esentation
π 1 (M ) → U (r) ; un tel fibr´ e est appel´ e fibr´ e plat ou syst` eme local de coefficients.
Un exemple fondamental est bien sˆ ur le fibr´ e trivial E = M × C avec sa connexion
´ evidente D E = d. Grˆ ace ` a cette hypoth` ese, D E d´ efinit un complexe de De Rham
g´ en´ eralis´ e
C
∞ (M, E)
D E
−→ C
∞ (M, Λ
1 T
⋆
M ⊗ E) −→ · · · −→ C
∞ (M, Λ
p T
⋆
M ⊗ E)
D E
−→ · · · .
Les groupes de cohomologie de ce complexe seront not´ es H
p
DR (M, E).
L’espace des formes harmoniques de degr´ e p relativement ` a l’op´ erateur de
Laplace-Beltrami ∆ E = D E D
⋆
E + D
⋆
E D E est d´ efini par
(4.15)
H
p (M, E) =
s ∈ C
∞ (M, Λ
p T
⋆
M ⊗ E) ; ∆ E s = 0
.
Comme ∆ E s, s = ||D E s||
2 + ||D
⋆
E s||
2 , nous voyons que s ∈ H
p (M, E) si et
seulement si D E s = D
⋆
E s = 0.
4.16. Th´ eor` eme. Pour tout p, il existe une d´ ecomposition orthogonale
C
∞ (M, Λ
p T
⋆
M ⊗ E) = H
p (M, E) ⊕ Im D E ⊕ Im D
⋆
E ,
o` u
Im D E = D E
C
∞ (M, Λ
p−1 T
⋆
M ⊗ E)
,
Im D
⋆
E = D
⋆
E
C
∞ (M, Λ
p+1 T
⋆
M ⊗ E)
.
Preuve. Il est imm´ ediat que H
p (M, E) est orthogonal aux deux sous-espaces Im D E
et Im D
⋆
E . L’orthogonalit´ e de ces deux sous-espaces est elle aussi ´ evidente, grˆ ace ` a
l’hypoth` ese D
2
E = 0 :
D E s, D
⋆
E t = D
2
E s, t = 0.