4. Th´ eorie de Hodge des vari´ et´ es riemanniennes compactes
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grˆ ace ` a la formule de Stokes. Par cons´ equent (4.5) et (4.7) impliquent
D E s, t = (−1)
p+1 (−1)
p(m−1)
M
{s, ⋆ ⋆ D E ⋆ t} = (−1)
mp+1 s, ⋆D E ⋆ t.
La formule d´ esir´ ee s’ensuit.
4.12. Remarque. Dans le cas de la connexion triviale d sur E = M × C, la
formule devient d
⋆ = (−1)
m+1 ⋆ d ⋆ . Si m est pair, ces formules se r´ eduisent ` a
d
⋆ = − ⋆ d ⋆ ,
D
⋆
E = − ⋆ D E ⋆ .
4.13. D´ efinition. L’op´ erateur de Laplace-Beltrami est l’op´ erateur diff´ erentiel du
second ordre agissant sur les fibr´ es Λ
p T
⋆
M ⊗ E, tel que
∆ E = D E D
⋆
E + D
⋆
E D E .
En particulier, l’op´ erateur de Laplace-Beltrami agissant sur Λ
p T
⋆
M est ∆ =
dd
⋆ +d
⋆ d. Ce dernier op´ erateur ne d´ epend que de la structure riemannienne (M, g).
Il est clair que le Laplacien ∆ est formellement auto-adjoint, i.e. ∆ E s, t =
s, ∆ E t chaque fois que les formes s, t sont de classe C
∞ et que l’une d’elles est
` a support compact.
4.14. Calcul du symbole. Pour toute fonction f de classe C
∞ , la r` egle de
Leibnitz donne e
−tf D E (e
tf s) = t df ∧ s + D E s. Par d´ efinition du symbole, nous
trouvons donc
σ D E (x, ξ) · s = ξ ∧ s,
∀ξ ∈ T
⋆
M,x , ∀s ∈ Λ
p T
⋆
M ⊗ E.
Grˆ ace ` a la formule (2.8) nous obtenons σ D ⋆
E
= −(σ D E )
⋆ , donc
σ D ⋆
E
(x, ξ) · s = −
ξ s
o` u
ξ ∈ T M est le vecteur tangent adjoint de ξ. L’´ egalit´ e σ ∆ E = σ D E σ D ⋆
E
+ σ D ⋆
E
σ D E
implique
σ ∆ E (x, ξ) · s = −ξ ∧ (
ξ s) −
ξ (ξ ∧ s) = −(
ξ ξ)s,
σ ∆ E (x, ξ) · s = −|ξ|
2 s.
En particulier, ∆ E est toujours un op´ erateur elliptique. Dans le cas particulier o` u
M est une partie ouverte de R
m munie de la m´ etrique constante g =
m
i=1 dx
2
i ,
tous les op´ erateurs d, d
⋆ , ∆ sont ` a coefficients constants. Ils sont compl` etement