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J.-P. Demailly, Partie I : Th´ eorie de Hodge L 2
4.9. Contraction par un champ de vecteurs. Etant donn´ e un vecteur tangent
θ ∈ T M et une forme u ∈ Λ
p T
⋆
M , la contraction θ u ∈ Λ
p−1 T
⋆
M est d´ efinie par
θ u (η 1 , . . . , η p−1 ) = u(θ, η 1 , . . . , η p−1 ), η j ∈ T M .
En termes de la base (ξ j ), • • est l’op´ erateur bilin´ eaire caract´ eris´ e par
ξ l (ξ
⋆
i 1
∧ · · · ∧ ξ
⋆
i p
) =
0
si l /
∈ {i 1 , . . . , i p },
(−1)
k−1 ξ
⋆
i 1
∧ · · ·
ξ
⋆
i k
· · · ∧ ξ
⋆
i p
si l = i k .
Cette formule est en fait valide mˆ eme quand (ξ j ) est non orthonorm´ e. Un calcul
facile montre que θ • est une d´ erivation de l’alg` ebre ext´ erieure, i.e. que
θ (u ∧ v) = (θ u) ∧ v + (−1)
deg u u ∧ (θ v).
De plus, si
θ = •, θ ∈ T
⋆
M , l’op´ erateur θ • est l’adjoint de
θ ∧ •, i.e.,
(4.10)
θ u, v = u,
θ ∧ v, ∀u, v ∈ Λ
• T
⋆
M .
En effet, cette propri´ et´ e est imm´ ediate quand θ = ξ l , u = ξ
⋆
I , v = ξ
⋆
J .
4.B. Op´ erateurs de Laplace-Beltrami
Soit E un fibr´ e vectoriel hermitien sur M , et soit D E une connexion hermitienne sur E. Nous consid´ erons l’espace de Hilbert L
2 (M, Λ
p T
⋆
M ⊗ E) des p-formes
s sur M ` a valeurs dans E, muni du produit scalaire L
2
s, t =
M
s, t dV
d´ ej` a consid´ er´ e en (2.5). Ici s, t est le produit scalaire ponctuel sur Λ
p T
⋆
M ⊗ E
associ´ e au produit scalaire riemannien sur Λ
p T
⋆
M et au produit scalaire hermitien
sur E.
4.11. Th´ eor` eme. L’adjoint formel de D E agissant sur C
∞ (M, Λ
p T
⋆
M ⊗ E) est
donn´ e par
D
⋆
E = (−1)
mp+1 ⋆ D E ⋆ .
Preuve. Si s ∈ C
∞ (M, Λ
p T
⋆
M ⊗ E) et t ∈ C
∞ (M, Λ
p+1 T
⋆
M ⊗ E) sont ` a support
compact, nous avons
D E s, t =
M
D E s, t dV =
M
{D E s, ⋆ t}
=
M
d{s, ⋆ t} − (−1)
p {s, D E ⋆ t} = (−1)
p+1
M
{s, D E ⋆ t}