4. Th´ eorie de Hodge des vari´ et´ es riemanniennes compactes
21
pour tout p, avec Λ
• T
⋆
M =
Λ
p T
⋆
M comme somme directe orthogonale. Alors la
famille de covecteurs ξ
⋆
I = ξ
⋆
i 1
∧ · · · ∧ ξ
⋆
i p
, i 1 < i 2 < · · · < i p , d´ efinit une base
orthonorm´ ee de Λ
• T
⋆
M . On notera •, • le produit scalaire correspondant sur
Λ
• T
⋆
M ⊗ E.
4.2. Op´ erateur ´ etoile de Hodge. L’op´ erateur ⋆ de Hodge-Poincar´ e-De Rham
est l’endomorphisme de Λ
• T
⋆
M d´ efini par la collection d’applications lin´ eaires telles
que
⋆ : Λ
p T
⋆
M → Λ
m−p T
⋆
M ,
u ∧ ⋆ v = u, v dV,
∀u, v ∈ Λ
p T
⋆
M .
L’existence et l’unicit´ e de cet op´ erateur se voient ais´ ement en utilisant l’accouplement de dualit´ e
Λ
p T
⋆
M × Λ
m−p T
⋆
M −→ R
(u, v) −→ u ∧ v/dV =
ε(I, ∁I) u I v ∁I ,
(4.3)
o` u u =
|I|=p u I ξ
⋆
I , v =
|J|=m−p v J ξ
⋆
J , et o` u ε(I, ∁I) est la signature
de la permutation (1, 2, . . . , m) → (I, ∁I) d´ efinie par I suivi du multi-indice
compl´ ementaire (ordonn´ e) ∁I. De l` a, nous d´ eduisons
(4.4)
⋆ v =
|I|=p
ε(I, ∁I)v I ξ
⋆
∁I .
Plus g´ en´ eralement, l’accouplement sesquilin´ eaire {•, •} d´ efini par (1.6) induit un
op´ erateur ⋆ sur les formes ` a valeurs vectorielles, tel que
⋆ : Λ
p T
⋆
M ⊗ E → Λ
m−p T
⋆
M ⊗ E,
{s, ⋆ t} = s, t dV,
(4.5)
⋆ t =
|I|=p,λ
ε(I, ∁I) t I,λ ξ
⋆
∁I ⊗ e λ ,
∀s, t ∈ Λ
p T
⋆
M ⊗ E,
(4.6)
pour t =
t I,λ ξ
⋆
I ⊗ e λ . Puisque ε(I, ∁I)ε(∁I, I) = (−1)
p(m−p) = (−1)
p(m−1) , nous
obtenons imm´ ediatement
(4.7)
⋆ ⋆ t = (−1)
p(m−1) t sur Λ
p T
⋆
M ⊗ E.
Il est clair que ⋆ est une isom´ etrie de Λ
• T
⋆
M ⊗ E. Nous aurons besoin aussi d’une
variante de l’op´ erateur ⋆, ` a savoir l’op´ erateur antilin´ eaire
# : Λ
p T
⋆
M ⊗ E −→ Λ
m−p T
⋆
M ⊗ E
⋆
d´ efini par s ∧ # t = s, t dV, o` u le produit ext´ erieur ∧ est combin´ e avec
l’accouplement canonique E × E
⋆ → C. Nous avons
(4.8)
# t =
|I|=p,λ
ε(I, ∁I) t I,λ ξ
⋆
∁I ⊗ e
⋆
λ .
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pour tout p, avec Λ
• T
⋆
M =
Λ
p T
⋆
M comme somme directe orthogonale. Alors la
famille de covecteurs ξ
⋆
I = ξ
⋆
i 1
∧ · · · ∧ ξ
⋆
i p
, i 1 < i 2 < · · · < i p , d´ efinit une base
orthonorm´ ee de Λ
• T
⋆
M . On notera •, • le produit scalaire correspondant sur
Λ
• T
⋆
M ⊗ E.
4.2. Op´ erateur ´ etoile de Hodge. L’op´ erateur ⋆ de Hodge-Poincar´ e-De Rham
est l’endomorphisme de Λ
• T
⋆
M d´ efini par la collection d’applications lin´ eaires telles
que
⋆ : Λ
p T
⋆
M → Λ
m−p T
⋆
M ,
u ∧ ⋆ v = u, v dV,
∀u, v ∈ Λ
p T
⋆
M .
L’existence et l’unicit´ e de cet op´ erateur se voient ais´ ement en utilisant l’accouplement de dualit´ e
Λ
p T
⋆
M × Λ
m−p T
⋆
M −→ R
(u, v) −→ u ∧ v/dV =
ε(I, ∁I) u I v ∁I ,
(4.3)
o` u u =
|I|=p u I ξ
⋆
I , v =
|J|=m−p v J ξ
⋆
J , et o` u ε(I, ∁I) est la signature
de la permutation (1, 2, . . . , m) → (I, ∁I) d´ efinie par I suivi du multi-indice
compl´ ementaire (ordonn´ e) ∁I. De l` a, nous d´ eduisons
(4.4)
⋆ v =
|I|=p
ε(I, ∁I)v I ξ
⋆
∁I .
Plus g´ en´ eralement, l’accouplement sesquilin´ eaire {•, •} d´ efini par (1.6) induit un
op´ erateur ⋆ sur les formes ` a valeurs vectorielles, tel que
⋆ : Λ
p T
⋆
M ⊗ E → Λ
m−p T
⋆
M ⊗ E,
{s, ⋆ t} = s, t dV,
(4.5)
⋆ t =
|I|=p,λ
ε(I, ∁I) t I,λ ξ
⋆
∁I ⊗ e λ ,
∀s, t ∈ Λ
p T
⋆
M ⊗ E,
(4.6)
pour t =
t I,λ ξ
⋆
I ⊗ e λ . Puisque ε(I, ∁I)ε(∁I, I) = (−1)
p(m−p) = (−1)
p(m−1) , nous
obtenons imm´ ediatement
(4.7)
⋆ ⋆ t = (−1)
p(m−1) t sur Λ
p T
⋆
M ⊗ E.
Il est clair que ⋆ est une isom´ etrie de Λ
• T
⋆
M ⊗ E. Nous aurons besoin aussi d’une
variante de l’op´ erateur ⋆, ` a savoir l’op´ erateur antilin´ eaire
# : Λ
p T
⋆
M ⊗ E −→ Λ
m−p T
⋆
M ⊗ E
⋆
d´ efini par s ∧ # t = s, t dV, o` u le produit ext´ erieur ∧ est combin´ e avec
l’accouplement canonique E × E
⋆ → C. Nous avons
(4.8)
# t =
|I|=p,λ
ε(I, ∁I) t I,λ ξ
⋆
∁I ⊗ e
⋆
λ .