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J.-P. Demailly, Partie I : Th´ eorie de Hodge L 2
o` u GR et HQ sont r´ egularisants (H est un op´ erateur r´ egularisant de rang fini
d´ efini par le noyau
ϕ s (x) ⊗ ϕ
⋆
s (y), si (ϕ s ) est une base de fonctions propres
de Ker P ⊂ C
∞ (M, E)). Par suite G = Q mod R et G est bien un op´ erateur
pseudo-diff´ erentiel d’ordre −δ.
3.16. Corollaire. Sous les hypoth` eses du th. 3.15, les valeurs propres de P
constituent une suite de r´ eels λ k tels que lim k→+∞ |λ k | = +∞, les espaces propres
V λ k de P sont de dimension finie, et on a une somme directe hilbertienne
L
2 (M, E) =
k
V λ k .
Pour tout entier m ∈ N, un ´ el´ ement u =
k u k ∈ L
2 (M, E) est dans W
mδ (X, E)
si et seulement si
|λ k |
2m u k
2 < +∞.
Preuve. L’op´ erateur de Green s’´ etend en un op´ erateur autoadjoint
G : L
2 (M, E) → L
2 (M, E)
se factorisant ` a travers W
δ (M, E), et donc compact. Cet op´ erateur d´ efinit un
inverse de
P : W
δ (M, E) → L
2 (M, E) sur (Ker P )
⊥ . La th´ eorie spectrale
des op´ erateurs compacts autoadjoints montre que les valeurs propres µ k de
G
forment une suite de r´ eels µ k tendant vers 0 et que L
2 (M, E) est somme directe
hilbertienne des espaces propres. Les valeurs propres correspondantes de
P sont
λ k = µ
−1
k
si µ k = 0, et d’apr` es l’ellipticit´ e de P − λ k Id, les espaces propres
V λ k = Ker(P − λ k Id) sont de dimension finie et contenus dans C
∞ (M, E). Enfin,
si u =
k u k ∈ L
2 (M, E), l’in´ egalit´ e de G˚ arding montre que u ∈ W
mδ (M, E) si
et seulement si
P
m u ∈ L
2 (M, E) = W
0 (M, E), ce qui donne bien la condition
|λ k |
2m u k
2 < +∞.
4. Th´ eorie de Hodge des vari´ et´ es riemanniennes compactes
La th´ eorie de Hodge a ´ et´ e bˆ atie de toutes pi` eces par W.V.D. Hodge pendant
la d´ ecade 1930-1940 (voir [Hod41], [DR55]). Le but principal de la th´ eorie est
de d´ ecrire l’alg` ebre de cohomologie de De Rham d’une vari´ et´ e riemannienne en
termes de ses formes harmoniques. Le r´ esultat principal est que toute classe de
cohomologie poss` ede un unique repr´ esentant harmonique.
4.A. Structure euclidienne de l’alg` ebre ext´ erieure
Soit (M, g) une vari´ et´ e riemannienne orient´ ee de classe C
∞ , dim R M = m,
et soit E → M un fibr´ e vectoriel hermitien de rang r sur M . Nous notons
respectivement (ξ 1 , . . . , ξ m ) et (e 1 , . . . , e r ) des rep` eres orthonorm´ es de T M et
de E sur une carte Ω ⊂ M , et soient (ξ
⋆
1 , . . . , ξ
⋆
m ), (e
⋆
1 , . . . , e
⋆
r ) les rep` eres
duaux correspondants de T
⋆
M , E
⋆ . Soit dV l’´ el´ ement de volume riemannien sur M .
L’alg` ebre ext´ erieure Λ
• T
⋆
M poss` ede un produit scalaire naturel •, •, tel que
(4.1)
u 1 ∧ · · · ∧ u p , v 1 ∧ · · · ∧ v p = det(u j , v k ) 1j,kp , u j , v k ∈ T
⋆
M
J.-P. Demailly, Partie I : Th´ eorie de Hodge L 2
o` u GR et HQ sont r´ egularisants (H est un op´ erateur r´ egularisant de rang fini
d´ efini par le noyau
ϕ s (x) ⊗ ϕ
⋆
s (y), si (ϕ s ) est une base de fonctions propres
de Ker P ⊂ C
∞ (M, E)). Par suite G = Q mod R et G est bien un op´ erateur
pseudo-diff´ erentiel d’ordre −δ.
3.16. Corollaire. Sous les hypoth` eses du th. 3.15, les valeurs propres de P
constituent une suite de r´ eels λ k tels que lim k→+∞ |λ k | = +∞, les espaces propres
V λ k de P sont de dimension finie, et on a une somme directe hilbertienne
L
2 (M, E) =
k
V λ k .
Pour tout entier m ∈ N, un ´ el´ ement u =
k u k ∈ L
2 (M, E) est dans W
mδ (X, E)
si et seulement si
|λ k |
2m u k
2 < +∞.
Preuve. L’op´ erateur de Green s’´ etend en un op´ erateur autoadjoint
G : L
2 (M, E) → L
2 (M, E)
se factorisant ` a travers W
δ (M, E), et donc compact. Cet op´ erateur d´ efinit un
inverse de
P : W
δ (M, E) → L
2 (M, E) sur (Ker P )
⊥ . La th´ eorie spectrale
des op´ erateurs compacts autoadjoints montre que les valeurs propres µ k de
G
forment une suite de r´ eels µ k tendant vers 0 et que L
2 (M, E) est somme directe
hilbertienne des espaces propres. Les valeurs propres correspondantes de
P sont
λ k = µ
−1
k
si µ k = 0, et d’apr` es l’ellipticit´ e de P − λ k Id, les espaces propres
V λ k = Ker(P − λ k Id) sont de dimension finie et contenus dans C
∞ (M, E). Enfin,
si u =
k u k ∈ L
2 (M, E), l’in´ egalit´ e de G˚ arding montre que u ∈ W
mδ (M, E) si
et seulement si
P
m u ∈ L
2 (M, E) = W
0 (M, E), ce qui donne bien la condition
|λ k |
2m u k
2 < +∞.
4. Th´ eorie de Hodge des vari´ et´ es riemanniennes compactes
La th´ eorie de Hodge a ´ et´ e bˆ atie de toutes pi` eces par W.V.D. Hodge pendant
la d´ ecade 1930-1940 (voir [Hod41], [DR55]). Le but principal de la th´ eorie est
de d´ ecrire l’alg` ebre de cohomologie de De Rham d’une vari´ et´ e riemannienne en
termes de ses formes harmoniques. Le r´ esultat principal est que toute classe de
cohomologie poss` ede un unique repr´ esentant harmonique.
4.A. Structure euclidienne de l’alg` ebre ext´ erieure
Soit (M, g) une vari´ et´ e riemannienne orient´ ee de classe C
∞ , dim R M = m,
et soit E → M un fibr´ e vectoriel hermitien de rang r sur M . Nous notons
respectivement (ξ 1 , . . . , ξ m ) et (e 1 , . . . , e r ) des rep` eres orthonorm´ es de T M et
de E sur une carte Ω ⊂ M , et soient (ξ
⋆
1 , . . . , ξ
⋆
m ), (e
⋆
1 , . . . , e
⋆
r ) les rep` eres
duaux correspondants de T
⋆
M , E
⋆ . Soit dV l’´ el´ ement de volume riemannien sur M .
L’alg` ebre ext´ erieure Λ
• T
⋆
M poss` ede un produit scalaire naturel •, •, tel que
(4.1)
u 1 ∧ · · · ∧ u p , v 1 ∧ · · · ∧ v p = det(u j , v k ) 1j,kp , u j , v k ∈ T
⋆
M