3. R´ esultats fondamentaux sur les op´ erateurs elliptiques
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D´ efinissons T =
u ∈ W
s+δ (M, E) ; u ⊥ v j , 1 j n} et posons ε = 1/2C s . Il
vient
u s+δ 2C s
P u s ,
∀u ∈ T.
Ceci implique que
P (T ) est ferm´ e. Par cons´ equent
P
W
s+δ (M, E)
=
P (T ) + Vect
P (v 1 ), . . . ,
P (v N )
est ferm´ e dans W
s (M, E). Prenons en particulier s = 0. Puisque C
∞ (M, E) est
dense dans W
δ (M, E), nous voyons que dans W
0 (M, E) = L
2 (M, E) on a
P
W
δ (M, E)
⊥
=
P
C
∞ (M, E)
⊥
= Ker
P ⋆ .
Nous avons ainsi prouv´ e que
(3.12)
W
0 (M, E) =
P
W
δ (M, E)
⊕ Ker
P ⋆ .
Puisque P
⋆ est ´ egalement elliptique, il s’ensuit que Ker
P ⋆ est de dimension finie et
que Ker
P ⋆ = Ker P
⋆ est contenu dans C
∞ (M, F ). Grˆ ace ` a l’in´ egalit´ e de G˚ arding,
la formule de d´ ecomposition (3.12) donne
W
s (M, E) =
P
W
s+δ (M, E)
⊕ Ker P
⋆ ,
(3.13)
C
∞ (M, E) = P
C
∞ (M, E)
⊕ Ker P
⋆ .
(3.14)
Nous terminons cette section par la construction de l’op´ erateur de Green
associ´ e ` a un op´ erateur elliptique auto-adjoint.
3.15. Th´ eor` eme. Soient E un fibr´ e vectoriel hermitien de rang r sur une vari´ et´ e
compacte M , et P : C
∞ (M, E) → C
∞ (M, E) un op´ erateur diff´ erentiel elliptique
autoadjoint de degr´ e δ. Alors si H d´ esigne l’op´ erateur de projection orthogonale
H : C
∞ (M, E) → Ker P , il existe un unique op´ erateur G sur C
∞ (M, E) tel que
P G + H = GP + H = Id,
de plus G est un op´ erateur pseudo-diff´ erentiel de degr´ e −δ, appel´ e op´ erateur de
Green associ´ e ` a P .
Preuve. D’apr` es le Th´ eor` eme 3.10, Ker P = Ker P
⋆ est de dimension finie, et
Im P = (Ker P )
⊥ . Il en r´ esulte que la restriction de P ` a (Ker P )
⊥ est un op´ erateur
bijectif. On d´ efinit G comme ´ etant ´ egal ` a 0 ⊕ P
−1 relativement ` a la d´ ecomposition
orthogonale C
∞ (M, E) = Ker P ⊕(Ker P )
⊥ . Les relations P G+H = GP +H = Id
sont alors ´ evidentes, de mˆ eme que l’unicit´ e de G. De plus, G est continu pour la
topologie d’espace de Fr´ echet de C
∞ (M, E) d’apr` es le th´ eor` eme de Banach. On
sait ´ egalement qu’il existe un op´ erateur pseudodiff´ erentiel Q d’ordre −δ qui est un
inverse de P modulo R, i.e., P Q = Id +R, R ∈ R. Il vient alors
Q = (GP + H)Q = G(Id +R) + HQ = G + GR + HQ,
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D´ efinissons T =
u ∈ W
s+δ (M, E) ; u ⊥ v j , 1 j n} et posons ε = 1/2C s . Il
vient
u s+δ 2C s
P u s ,
∀u ∈ T.
Ceci implique que
P (T ) est ferm´ e. Par cons´ equent
P
W
s+δ (M, E)
=
P (T ) + Vect
P (v 1 ), . . . ,
P (v N )
est ferm´ e dans W
s (M, E). Prenons en particulier s = 0. Puisque C
∞ (M, E) est
dense dans W
δ (M, E), nous voyons que dans W
0 (M, E) = L
2 (M, E) on a
P
W
δ (M, E)
⊥
=
P
C
∞ (M, E)
⊥
= Ker
P ⋆ .
Nous avons ainsi prouv´ e que
(3.12)
W
0 (M, E) =
P
W
δ (M, E)
⊕ Ker
P ⋆ .
Puisque P
⋆ est ´ egalement elliptique, il s’ensuit que Ker
P ⋆ est de dimension finie et
que Ker
P ⋆ = Ker P
⋆ est contenu dans C
∞ (M, F ). Grˆ ace ` a l’in´ egalit´ e de G˚ arding,
la formule de d´ ecomposition (3.12) donne
W
s (M, E) =
P
W
s+δ (M, E)
⊕ Ker P
⋆ ,
(3.13)
C
∞ (M, E) = P
C
∞ (M, E)
⊕ Ker P
⋆ .
(3.14)
Nous terminons cette section par la construction de l’op´ erateur de Green
associ´ e ` a un op´ erateur elliptique auto-adjoint.
3.15. Th´ eor` eme. Soient E un fibr´ e vectoriel hermitien de rang r sur une vari´ et´ e
compacte M , et P : C
∞ (M, E) → C
∞ (M, E) un op´ erateur diff´ erentiel elliptique
autoadjoint de degr´ e δ. Alors si H d´ esigne l’op´ erateur de projection orthogonale
H : C
∞ (M, E) → Ker P , il existe un unique op´ erateur G sur C
∞ (M, E) tel que
P G + H = GP + H = Id,
de plus G est un op´ erateur pseudo-diff´ erentiel de degr´ e −δ, appel´ e op´ erateur de
Green associ´ e ` a P .
Preuve. D’apr` es le Th´ eor` eme 3.10, Ker P = Ker P
⋆ est de dimension finie, et
Im P = (Ker P )
⊥ . Il en r´ esulte que la restriction de P ` a (Ker P )
⊥ est un op´ erateur
bijectif. On d´ efinit G comme ´ etant ´ egal ` a 0 ⊕ P
−1 relativement ` a la d´ ecomposition
orthogonale C
∞ (M, E) = Ker P ⊕(Ker P )
⊥ . Les relations P G+H = GP +H = Id
sont alors ´ evidentes, de mˆ eme que l’unicit´ e de G. De plus, G est continu pour la
topologie d’espace de Fr´ echet de C
∞ (M, E) d’apr` es le th´ eor` eme de Banach. On
sait ´ egalement qu’il existe un op´ erateur pseudodiff´ erentiel Q d’ordre −δ qui est un
inverse de P modulo R, i.e., P Q = Id +R, R ∈ R. Il vient alors
Q = (GP + H)Q = G(Id +R) + HQ = G + GR + HQ,