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J.-P. Demailly, Partie I : Th´ eorie de Hodge L 2
3.C. Th´ eor` eme de finitude
Nous concluons cette section par la preuve du th´ eor` eme de finitude fondamental suivant, qui est le point de d´ epart de la th´ eorie de Hodge L
2 .
3.10. Th´ eor` eme de finitude. Soient E, F des fibr´ es vectoriels hermitiens sur
une vari´ et´ e compacte M , tels que rang E = rang F = r, et soit P : C
∞ (M, E) →
C
∞ (M, F ) un op´ erateur diff´ erentiel elliptique de degr´ e δ. Alors :
i) Ker P est de dimension finie.
ii) P
C
∞ (M, E)
est ferm´ e et de codimension finie dans C
∞ (M, F ) ; de plus, si
P
⋆ est l’adjoint formel de P , il existe une d´ ecomposition
C
∞ (M, F ) = P
C
∞ (M, E)
⊕ Ker P
⋆
comme somme directe orthogonale dans W
0 (M, F ) = L
2 (M, F ).
Preuve. (i) L’in´ egalit´ e de G˚ arding montre que u s+δ C s u 0 pour tout
u ∈ Ker P . Grˆ ace au lemme de Sobolev, ceci implique que Ker P est ferm´ e dans
W
0 (M, E). De plus, la 0 -boule unit´ e ferm´ ee de Ker P est contenue dans la
δ -boule de rayon C 0 , donc elle est compacte d’apr` es le lemme de Rellich. Le
th´ eor` eme de Riesz implique que dim Ker P < +∞.
(ii) Nous montrons d’abord que le prolongement
P : W
s+δ (M, E) → W
s (M, F )
a une image ferm´ ee pour tout s. Pour tout ε > 0, il existe un nombre fini d’´ el´ ements
v 1 , . . . , v N ∈ W
s+δ (M, F ), N = N (ε), tels que
(3.11)
u 0 εu s+δ +
N
j=1
|||u, v j 0 | ;
en effet l’ensemble
K (v j ) =
u ∈ W
s+δ (M, F ) ; εu s+δ +
N
j=1
|||u, v j 0 | 1
est relativement compact dans W
0 (M, F ) et
(v j ) K (v j ) = {0}. Il s’ensuit qu’il
existe des ´ el´ ements (v j ) tels que K (v j ) soit contenu dans la boule unit´ e de
W
0 (M, E), ce qu’il fallait d´ emontrer. Substituons la majoration u 0 donn´ ee par
(3.11) dans l’in´ egalit´ e de G˚ arding ; nous obtenons
(1 − C s ε)u s+δ C s
P u s +
N
j=1
|||u, v j 0 |
.
J.-P. Demailly, Partie I : Th´ eorie de Hodge L 2
3.C. Th´ eor` eme de finitude
Nous concluons cette section par la preuve du th´ eor` eme de finitude fondamental suivant, qui est le point de d´ epart de la th´ eorie de Hodge L
2 .
3.10. Th´ eor` eme de finitude. Soient E, F des fibr´ es vectoriels hermitiens sur
une vari´ et´ e compacte M , tels que rang E = rang F = r, et soit P : C
∞ (M, E) →
C
∞ (M, F ) un op´ erateur diff´ erentiel elliptique de degr´ e δ. Alors :
i) Ker P est de dimension finie.
ii) P
C
∞ (M, E)
est ferm´ e et de codimension finie dans C
∞ (M, F ) ; de plus, si
P
⋆ est l’adjoint formel de P , il existe une d´ ecomposition
C
∞ (M, F ) = P
C
∞ (M, E)
⊕ Ker P
⋆
comme somme directe orthogonale dans W
0 (M, F ) = L
2 (M, F ).
Preuve. (i) L’in´ egalit´ e de G˚ arding montre que u s+δ C s u 0 pour tout
u ∈ Ker P . Grˆ ace au lemme de Sobolev, ceci implique que Ker P est ferm´ e dans
W
0 (M, E). De plus, la 0 -boule unit´ e ferm´ ee de Ker P est contenue dans la
δ -boule de rayon C 0 , donc elle est compacte d’apr` es le lemme de Rellich. Le
th´ eor` eme de Riesz implique que dim Ker P < +∞.
(ii) Nous montrons d’abord que le prolongement
P : W
s+δ (M, E) → W
s (M, F )
a une image ferm´ ee pour tout s. Pour tout ε > 0, il existe un nombre fini d’´ el´ ements
v 1 , . . . , v N ∈ W
s+δ (M, F ), N = N (ε), tels que
(3.11)
u 0 εu s+δ +
N
j=1
|||u, v j 0 | ;
en effet l’ensemble
K (v j ) =
u ∈ W
s+δ (M, F ) ; εu s+δ +
N
j=1
|||u, v j 0 | 1
est relativement compact dans W
0 (M, F ) et
(v j ) K (v j ) = {0}. Il s’ensuit qu’il
existe des ´ el´ ements (v j ) tels que K (v j ) soit contenu dans la boule unit´ e de
W
0 (M, E), ce qu’il fallait d´ emontrer. Substituons la majoration u 0 donn´ ee par
(3.11) dans l’in´ egalit´ e de G˚ arding ; nous obtenons
(1 − C s ε)u s+δ C s
P u s +
N
j=1
|||u, v j 0 |
.