3. R´ esultats fondamentaux sur les op´ erateurs elliptiques
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Inversement, si dV (y) = γ(y)dy 1 · · · dy m sur Ω j et si on ´ ecrit Ru =
R(θ j u) avec
une partition de l’unit´ e (θ j ), l’op´ erateur R(θ j •) est l’op´ erateur pseudodiff´ erentiel
associ´ e au symbole σ d´ efini comme la transform´ ee de Fourier partielle
σ(x, ξ) =
γ(y)θ j (y)K(x, y)
∧
y
(x, ξ),
σ ∈ S
−∞ (M ; E, F ).
Quand on travaille avec des op´ erateurs pseudodiff´ erentiels, il est habituel de travailler seulement modulo les op´ erateurs r´ egularisants et d’autoriser des op´ erateurs
plus g´ en´ eraux de la forme Op σ +R o` u R ∈ R est un op´ erateur r´ egularisant arbitraire.
3.7. Composition. Si σ ∈ S
δ (M ; E, F ) et σ
′ ∈ S
δ
′ (M ; F, G), δ, δ
′ ∈ R, il existe
un symbole σ
′ ⋄ σ ∈ S
δ+δ
′ (M ; E, G) tel que Op σ ′ ◦ Op σ = Op σ ′ ⋄σ mod R. De plus
σ
′ ⋄ σ − σ
′ · σ ∈ S
δ+δ
′ −1 (M ; E, G).
3.8. D´ efinition. Un op´ erateur pseudodiff´ erentiel Op σ de degr´ e δ est dit elliptique
s’il peut ˆ etre d´ efini par un symbole σ ∈ S
δ (M, E, F ) tel que
|σ(x, ξ) · u| c|ξ|
δ |u|,
∀(x, ξ) ∈ T
⋆
M , ∀u ∈ E x
pour |ξ| assez grand, l’estimation ´ etant uniforme pour x ∈ M .
Si E et F ont le mˆ eme rang, la condition d’ellipticit´ e implique que σ(x, ξ) est
inversible pour ξ grand. En prenant une fonction tronquante convenable θ(ξ) ´ egale
` a 1 pour ξ grand, on voit que la fonction σ
′ (x, ξ) = θ(ξ)σ(x, ξ)
−1 d´ efinit un symbole
dans l’espace S
−δ (M ; F, E), et d’apr` es (3.8) nous avons Op σ ′ ◦ Op σ = Id + Op ρ ,
ρ ∈ S
−1 (M ; E, E). Choisissons un symbole τ asymptotiquement ´ equivalent ` a
l’infini au d´ eveloppement Id −ρ+ρ
⋄2 +· · ·+(−1)
j ρ
⋄j +· · ·. Il est clair qu’on obtient
alors un inverse Op τ ⋄σ ′ de Op σ modulo R. Un corollaire facile de ces observations
est le suivant :
3.9. In´ egalit´ e de G˚ arding. Soit P : C
∞ (M, E) → C
∞ (M, F ) un op´ erateur
diff´ erentiel elliptique de degr´ e δ, o` u rang E = rang F = r, et soit
P l’extension
de P aux sections ` a coefficients distributions. Pour tout u ∈ W
0 (M, E) tel que
P u ∈ W
s (M, F ), on a alors u ∈ W
s+δ (M, E) et
u s+δ C s (
P u s + u 0 ),
o` u C s est une constante positive ne d´ ependant que de s.
Preuve. Comme P est elliptique, il existe un symbole σ ∈ S
−δ (M ; F, E) tel que
Op σ ◦
P = Id +R, R ∈ R. Alors Op σ (v) s+δ Cv s grˆ ace ` a (3.6). Par suite, en
posant v =
P u, nous voyons que u = Op σ (
P u) − Ru satisfait l’estimation d´ esir´ ee.
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Inversement, si dV (y) = γ(y)dy 1 · · · dy m sur Ω j et si on ´ ecrit Ru =
R(θ j u) avec
une partition de l’unit´ e (θ j ), l’op´ erateur R(θ j •) est l’op´ erateur pseudodiff´ erentiel
associ´ e au symbole σ d´ efini comme la transform´ ee de Fourier partielle
σ(x, ξ) =
γ(y)θ j (y)K(x, y)
∧
y
(x, ξ),
σ ∈ S
−∞ (M ; E, F ).
Quand on travaille avec des op´ erateurs pseudodiff´ erentiels, il est habituel de travailler seulement modulo les op´ erateurs r´ egularisants et d’autoriser des op´ erateurs
plus g´ en´ eraux de la forme Op σ +R o` u R ∈ R est un op´ erateur r´ egularisant arbitraire.
3.7. Composition. Si σ ∈ S
δ (M ; E, F ) et σ
′ ∈ S
δ
′ (M ; F, G), δ, δ
′ ∈ R, il existe
un symbole σ
′ ⋄ σ ∈ S
δ+δ
′ (M ; E, G) tel que Op σ ′ ◦ Op σ = Op σ ′ ⋄σ mod R. De plus
σ
′ ⋄ σ − σ
′ · σ ∈ S
δ+δ
′ −1 (M ; E, G).
3.8. D´ efinition. Un op´ erateur pseudodiff´ erentiel Op σ de degr´ e δ est dit elliptique
s’il peut ˆ etre d´ efini par un symbole σ ∈ S
δ (M, E, F ) tel que
|σ(x, ξ) · u| c|ξ|
δ |u|,
∀(x, ξ) ∈ T
⋆
M , ∀u ∈ E x
pour |ξ| assez grand, l’estimation ´ etant uniforme pour x ∈ M .
Si E et F ont le mˆ eme rang, la condition d’ellipticit´ e implique que σ(x, ξ) est
inversible pour ξ grand. En prenant une fonction tronquante convenable θ(ξ) ´ egale
` a 1 pour ξ grand, on voit que la fonction σ
′ (x, ξ) = θ(ξ)σ(x, ξ)
−1 d´ efinit un symbole
dans l’espace S
−δ (M ; F, E), et d’apr` es (3.8) nous avons Op σ ′ ◦ Op σ = Id + Op ρ ,
ρ ∈ S
−1 (M ; E, E). Choisissons un symbole τ asymptotiquement ´ equivalent ` a
l’infini au d´ eveloppement Id −ρ+ρ
⋄2 +· · ·+(−1)
j ρ
⋄j +· · ·. Il est clair qu’on obtient
alors un inverse Op τ ⋄σ ′ de Op σ modulo R. Un corollaire facile de ces observations
est le suivant :
3.9. In´ egalit´ e de G˚ arding. Soit P : C
∞ (M, E) → C
∞ (M, F ) un op´ erateur
diff´ erentiel elliptique de degr´ e δ, o` u rang E = rang F = r, et soit
P l’extension
de P aux sections ` a coefficients distributions. Pour tout u ∈ W
0 (M, E) tel que
P u ∈ W
s (M, F ), on a alors u ∈ W
s+δ (M, E) et
u s+δ C s (
P u s + u 0 ),
o` u C s est une constante positive ne d´ ependant que de s.
Preuve. Comme P est elliptique, il existe un symbole σ ∈ S
−δ (M ; F, E) tel que
Op σ ◦
P = Id +R, R ∈ R. Alors Op σ (v) s+δ Cv s grˆ ace ` a (3.6). Par suite, en
posant v =
P u, nous voyons que u = Op σ (
P u) − Ru satisfait l’estimation d´ esir´ ee.