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J.-P. Demailly, Partie I : Th´ eorie de Hodge L 2
est le symbole (ou symbole total) de P .
Un op´ erateur pseudodiff´ erentiel est un op´ erateur Op σ d´ efini par une formule
du type
(3.4)
Op σ (u)(x) =
R m
σ(x, ξ)
u(ξ) e
2πix·ξ dλ(ξ),
u ∈ D(R
m ),
o` u σ appartient ` a une classe convenable de fonctions sur T
⋆
R m . La classe standard
de symboles S
δ (R
m ) est d´ efinie comme suit : ´ etant donn´ e δ ∈ R, S
δ (R
m ) est la
classe des fonctions σ(x, ξ) de classe C
∞ sur T
⋆
R m telles que pour tout α, β ∈ N
m
et tout sous-ensemble compact K ⊂ R
m on ait une estimation
(3.5)
|D
α
x D
β
ξ σ(x, ξ)| C α,β (1 + |ξ|)
δ−|β| ,
∀(x, ξ) ∈ K × R
m ,
o` u δ ∈ R doit ˆ etre consid´ er´ e comme le “degr´ e” de σ. Alors Op σ (u) est une fonction
C
∞ bien d´ efinie sur R
m , puisque
u appartient ` a la classe S(R
m ) des fonctions ` a
d´ ecroissance rapide. Dans la situation plus g´ en´ erale des op´ erateurs agissant sur un
fibr´ e E et ` a valeurs dans un fibr´ e F sur une vari´ et´ e compacte M , nous introduisons
des espaces de symboles S
δ (M ; E, F ) analogues. Les ´ el´ ements de S
δ (M ; E, F ) sont
les fonctions
T
⋆
M ∋ (x, ξ) → σ(x, ξ) ∈ Hom(E x , F x )
satisfaisant la condition (3.5) dans tout syst` eme de coordonn´ ees. Finalement, nous
prenons un recouvrement fini trivialisant (Ω j ) de M et une “partition de l’unit´ e”
(ψ j ) subordonn´ ee ` a Ω j telle que
ψ
2
j = 1, et nous d´ efinissons
Op σ (u) =
ψ j Op σ (ψ j u),
u ∈ C
∞ (M, E),
de mani` ere ` a r´ eduire les calculs ` a la situation de R
m . Les r´ esultats de base de la
th´ eorie des op´ erateurs pseudodiff´ erentiels sont r´ esum´ es ci-dessous.
3.6. Existence de prolongement aux espaces W
s . Si σ ∈ S
δ (M ; E, F ), alors
Op σ s’´ etend d’une mani` ere unique en un op´ erateur lin´ eaire continu
Op σ : W
s (M, E) → W
s−δ (M, F ).
En particulier, si σ ∈ S
−∞ (M ; E, F ) :=
S
δ (M ; E, F ), alors Op σ est
un op´ erateur envoyant une section distribution arbitraire de D
′ (M, E) dans
C
∞ (M, F ), et ce de mani` ere continue. Un tel op´ erateur est appel´ e op´ erateur
r´ egularisant. Un r´ esultat standard de la th´ eorie des distributions affirme que
la classe R des op´ erateurs r´ egularisants co¨ ıncide avec la classe des op´ erateurs
d´ efinis au moyen d’un noyau K(x, y) ∈ Hom(E y , F x ) de classe C
∞ , c’est-` a-dire
les op´ erateurs de la forme
R : D
′ (M, E) → C
∞ (M, F ),
u → Ru,
Ru(x) =
M
K(x, y) · u(y) dV (y).
J.-P. Demailly, Partie I : Th´ eorie de Hodge L 2
est le symbole (ou symbole total) de P .
Un op´ erateur pseudodiff´ erentiel est un op´ erateur Op σ d´ efini par une formule
du type
(3.4)
Op σ (u)(x) =
R m
σ(x, ξ)
u(ξ) e
2πix·ξ dλ(ξ),
u ∈ D(R
m ),
o` u σ appartient ` a une classe convenable de fonctions sur T
⋆
R m . La classe standard
de symboles S
δ (R
m ) est d´ efinie comme suit : ´ etant donn´ e δ ∈ R, S
δ (R
m ) est la
classe des fonctions σ(x, ξ) de classe C
∞ sur T
⋆
R m telles que pour tout α, β ∈ N
m
et tout sous-ensemble compact K ⊂ R
m on ait une estimation
(3.5)
|D
α
x D
β
ξ σ(x, ξ)| C α,β (1 + |ξ|)
δ−|β| ,
∀(x, ξ) ∈ K × R
m ,
o` u δ ∈ R doit ˆ etre consid´ er´ e comme le “degr´ e” de σ. Alors Op σ (u) est une fonction
C
∞ bien d´ efinie sur R
m , puisque
u appartient ` a la classe S(R
m ) des fonctions ` a
d´ ecroissance rapide. Dans la situation plus g´ en´ erale des op´ erateurs agissant sur un
fibr´ e E et ` a valeurs dans un fibr´ e F sur une vari´ et´ e compacte M , nous introduisons
des espaces de symboles S
δ (M ; E, F ) analogues. Les ´ el´ ements de S
δ (M ; E, F ) sont
les fonctions
T
⋆
M ∋ (x, ξ) → σ(x, ξ) ∈ Hom(E x , F x )
satisfaisant la condition (3.5) dans tout syst` eme de coordonn´ ees. Finalement, nous
prenons un recouvrement fini trivialisant (Ω j ) de M et une “partition de l’unit´ e”
(ψ j ) subordonn´ ee ` a Ω j telle que
ψ
2
j = 1, et nous d´ efinissons
Op σ (u) =
ψ j Op σ (ψ j u),
u ∈ C
∞ (M, E),
de mani` ere ` a r´ eduire les calculs ` a la situation de R
m . Les r´ esultats de base de la
th´ eorie des op´ erateurs pseudodiff´ erentiels sont r´ esum´ es ci-dessous.
3.6. Existence de prolongement aux espaces W
s . Si σ ∈ S
δ (M ; E, F ), alors
Op σ s’´ etend d’une mani` ere unique en un op´ erateur lin´ eaire continu
Op σ : W
s (M, E) → W
s−δ (M, F ).
En particulier, si σ ∈ S
−∞ (M ; E, F ) :=
S
δ (M ; E, F ), alors Op σ est
un op´ erateur envoyant une section distribution arbitraire de D
′ (M, E) dans
C
∞ (M, F ), et ce de mani` ere continue. Un tel op´ erateur est appel´ e op´ erateur
r´ egularisant. Un r´ esultat standard de la th´ eorie des distributions affirme que
la classe R des op´ erateurs r´ egularisants co¨ ıncide avec la classe des op´ erateurs
d´ efinis au moyen d’un noyau K(x, y) ∈ Hom(E y , F x ) de classe C
∞ , c’est-` a-dire
les op´ erateurs de la forme
R : D
′ (M, E) → C
∞ (M, F ),
u → Ru,
Ru(x) =
M
K(x, y) · u(y) dV (y).