3. R´ esultats fondamentaux sur les op´ erateurs elliptiques
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Plus g´ en´ eralement, nous notons W
s (M, E) l’espace de Sobolev des sections
u : M → E dont les composantes sont localement dans W
s (R
m ) sur tout ouvert
de carte. De fa¸ con pr´ ecise, choisissons un recouvrement fini (Ω j ) de M par des
ouverts de coordonn´ ees Ω j ≃ R
m sur lesquels E est trivial. Consid´ erons des
rep` eres orthonorm´ es (e j,λ ) 1λr de E ↾Ω j et exprimons u par ses composantes,
soit u =
u j,λ e j,λ . On pose alors
u
2
s =
j,λ
ψ j u j,λ
2
s
o` u (ψ j ) est un “partition de l’unit´ e” subordonn´ ee ` a (Ω j ), telle que
ψ
2
j = 1. A
´ equivalence de normes pr` es, s est ind´ ependante des choix faits. Nous aurons
besoin des faits fondamentaux suivants, que le lecteur pourra trouver dans la
plupart des ouvrages sp´ ecialis´ es consacr´ es ` a la th´ eorie des ´ equations aux d´ eriv´ ees
partielles.
3.2. Lemme de Sobolev. Pour tout entier k ∈ N et tout nombre r´ eel s > k +
m
2 ,
on a W
s (M, E) ⊂ C
k (M, E) et l’inclusion est continue.
Il r´ esulte aussitˆ ot du lemme de Sobolev que
s0
W
s (M, E) = C
∞ (M, E),
s0
W
s (M, E) = D
′ (M, E).
3.3. Lemme de Rellich. Pour tout t > s, l’inclusion
W
t (M, E) ֒−→ W
s (M, E)
est un op´ erateur lin´ eaire compact.
3.B. Op´ erateurs pseudodiff´ erentiels
Si P =
|α|δ a α (x)D
α est un op´ erateur diff´ erentiel sur R
m , la formule
d’inversion de Fourier donne
P u(x) =
R m
|α|δ
a α (x)(2πiξ)
α
u(ξ) e
2πix·ξ dλ(ξ),
∀u ∈ D(R
m ),
o` u
u(ξ) =
R m u(x) e
−2πix·ξ dλ(x) est la transform´ ee de Fourier de u. Nous disons
que
σ(x, ξ) =
|α|δ
a α (x)(2πiξ)
α