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J.-P. Demailly, Partie I : Th´ eorie de Hodge L 2
coordonn´ ees locales sur un ouvert Ω ⊂ M . En supposant Supp u ∩ Supp v ⊂⊂ Ω,
une int´ egration de parties donne
P u, v =
Ω
|α|δ,λ,µ
a αλµ D
α u µ (x)v λ (x) γ(x) dx 1 , . . . , dx m
=
Ω
|α|δ,λ,µ
(−1)
|α| u µ (x)D α (γ(x) a αλµ v λ (x) dx 1 , . . . , dx m
=
Ω
u,
|α|δ
(−1)
|α| γ(x)
−1 D
α
γ(x) a
†
α v(x)
dV (x).
Nous voyons donc que P
⋆ existe et qu’il est d´ efini de mani` ere unique par
(2.7)
P
⋆ v(x) =
|α|δ
(−1)
|α| γ(x)
−1 D
α
γ(x) a
†
α v(x)
.
La formule (2.7) montre imm´ ediatement que le symbole principal de P
⋆ est
(2.8)
σ P ⋆ (x, ξ) = (−1)
δ
|α|=δ
a
†
α ξ
α = (−1)
δ σ P (x, ξ)
⋆ .
Si rang E = rang F , l’op´ erateur P est elliptique si et seulement si σ P (x, ξ) est
inversible pour ξ = 0, l’ellipticit´ e de P ´ equivaut donc ` a celle de P
⋆ .
3. R´ esultats fondamentaux sur les op´ erateurs elliptiques
Nous supposons dans toute cette section que M est une vari´ et´ e compacte
orient´ ee de dimension m et de classe C
∞ , munie d’une forme volume dV . Soit
E → M un fibr´ e vectoriel hermitien C
∞ de rang r sur M .
3.A. Espaces de Sobolev
Pour tout nombre r´ eel s, on d´ efinit l’espace de Sobolev W
s (R
m ) comme ´ etant
l’espace de Hilbert des distributions temp´ er´ ees u ∈ S
′ (R
m ) telles que la transform´ ee
de Fourier
u soit une fonction L
2
loc satisfaisant l’estimation
(3.1)
u
2
s =
R m
(1 + |ξ|
2 )
s | u(ξ)|
2 dλ(ξ) < +∞.
Si s ∈ N, nous avons
u
2
s ∼
R m
|α|s
|D
α u(x)|
2 dλ(x),
donc W
s (R
m ) est l’espace de Hilbert des fonctions u telles que toutes les d´ eriv´ ees
D
α u d’ordre |α| s sont dans L
2 (R
m ).