2. Op´ erateurs diff´ erentiels sur les fibr´ es vectoriels
13
o` u σ P est une application homog` ene polynˆ omiale T
⋆
M → Hom(E, F ) d´ efinie par
(2.2)
T
⋆
M,x ∋ ξ → σ P (x, ξ) ∈ Hom(E x , F x ),
σ P (x, ξ) =
|α|=δ
a α (x)ξ
α .
Alors σ P (x, ξ) est une fonction C
∞ des variables (x, ξ) ∈ T
⋆
M , et cette fonction
est ind´ ependante du choix des coordonn´ ees ou des trivialisations utilis´ ees pour
E, F . On dit que σ P est le symbole principal de P . Le symbole principal d’une
composition Q ◦ P d’op´ erateurs diff´ erentiels est simplement le produit
(2.3)
σ Q◦P (x, ξ) = σ Q (x, ξ)σ P (x, ξ),
calcul´ e comme un produit de matrices. Les op´ erateurs diff´ erentiels dont le symbole
est injectif jouent un rˆ ole tr` es important :
2.4. D´ efinition. Un op´ erateur diff´ erentiel P est dit elliptique si σ P (x, ξ) ∈
Hom(E x , F x ) est injectif pour tout x ∈ M et ξ ∈ T
⋆
M,x {0}.
Supposons maintenant que M soit orient´ ee et munie d’une forme volume
dV (x) = γ(x) dx 1 ∧ · · · ∧ dx m de classe C
∞ , o` u γ(x) > 0 est une densit´ e C
∞ .
Si E est un fibr´ e vectoriel euclidien ou hermitien, nous pouvons d´ efinir un espace
de Hilbert L
2 (M, E) de sections globales ` a valeurs dans E, ` a savoir l’espace des
formes u ` a coefficients mesurables qui sont de carr´ e sommable pour le produit
scalaire
u
2 =
M
|u(x)|
2 dV (x),
(2.5)
u, v =
M
u(x), v(x) dV (x),
u, v ∈ L
2 (M, E).
(2.5
′ )
2.6. D´ efinition. Si P : C
∞ (M, E) → C
∞ (M, F ) est un op´ erateur diff´ erentiel
et si les fibr´ es E, F sont euclidiens ou hermitiens, il existe un unique op´ erateur
diff´ erentiel
P
⋆ : C
∞ (M, F ) → C
∞ (M, E),
appel´ e adjoint formel de P , tel que pour toutes sections u ∈ C
∞ (M, E) et
v ∈ C
∞ (M, F ) on ait une identit´ e
P u, v = u, P
⋆ v,
chaque fois que Supp u ∩ Supp v ⊂⊂ M .
Preuve. L’unicit´ e est facile ` a v´ erifier, grˆ ace ` a la densit´ e des formes C
∞ ` a support compact dans L
2 (M, E). Au moyen d’un argument de partition de l’unit´ e, on
ram` ene la v´ erification de l’existence de P
⋆ ` a la preuve de son existence locale. Maintenant, soit P u(x) =
|α|δ a α (x)D
α u(x) le d´ eveloppement de P relativement ` a
des trivialisations de E, F associ´ ees ` a des rep` eres orthonorm´ e et ` a des syst` emes de
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o` u σ P est une application homog` ene polynˆ omiale T
⋆
M → Hom(E, F ) d´ efinie par
(2.2)
T
⋆
M,x ∋ ξ → σ P (x, ξ) ∈ Hom(E x , F x ),
σ P (x, ξ) =
|α|=δ
a α (x)ξ
α .
Alors σ P (x, ξ) est une fonction C
∞ des variables (x, ξ) ∈ T
⋆
M , et cette fonction
est ind´ ependante du choix des coordonn´ ees ou des trivialisations utilis´ ees pour
E, F . On dit que σ P est le symbole principal de P . Le symbole principal d’une
composition Q ◦ P d’op´ erateurs diff´ erentiels est simplement le produit
(2.3)
σ Q◦P (x, ξ) = σ Q (x, ξ)σ P (x, ξ),
calcul´ e comme un produit de matrices. Les op´ erateurs diff´ erentiels dont le symbole
est injectif jouent un rˆ ole tr` es important :
2.4. D´ efinition. Un op´ erateur diff´ erentiel P est dit elliptique si σ P (x, ξ) ∈
Hom(E x , F x ) est injectif pour tout x ∈ M et ξ ∈ T
⋆
M,x {0}.
Supposons maintenant que M soit orient´ ee et munie d’une forme volume
dV (x) = γ(x) dx 1 ∧ · · · ∧ dx m de classe C
∞ , o` u γ(x) > 0 est une densit´ e C
∞ .
Si E est un fibr´ e vectoriel euclidien ou hermitien, nous pouvons d´ efinir un espace
de Hilbert L
2 (M, E) de sections globales ` a valeurs dans E, ` a savoir l’espace des
formes u ` a coefficients mesurables qui sont de carr´ e sommable pour le produit
scalaire
u
2 =
M
|u(x)|
2 dV (x),
(2.5)
u, v =
M
u(x), v(x) dV (x),
u, v ∈ L
2 (M, E).
(2.5
′ )
2.6. D´ efinition. Si P : C
∞ (M, E) → C
∞ (M, F ) est un op´ erateur diff´ erentiel
et si les fibr´ es E, F sont euclidiens ou hermitiens, il existe un unique op´ erateur
diff´ erentiel
P
⋆ : C
∞ (M, F ) → C
∞ (M, E),
appel´ e adjoint formel de P , tel que pour toutes sections u ∈ C
∞ (M, E) et
v ∈ C
∞ (M, F ) on ait une identit´ e
P u, v = u, P
⋆ v,
chaque fois que Supp u ∩ Supp v ⊂⊂ M .
Preuve. L’unicit´ e est facile ` a v´ erifier, grˆ ace ` a la densit´ e des formes C
∞ ` a support compact dans L
2 (M, E). Au moyen d’un argument de partition de l’unit´ e, on
ram` ene la v´ erification de l’existence de P
⋆ ` a la preuve de son existence locale. Maintenant, soit P u(x) =
|α|δ a α (x)D
α u(x) le d´ eveloppement de P relativement ` a
des trivialisations de E, F associ´ ees ` a des rep` eres orthonorm´ e et ` a des syst` emes de