12
J.-P. Demailly, Partie I : Th´ eorie de Hodge L 2
Ces relations montrent que D
′2 = D
′′2 = 0. Par cons´ equent D
2 = D
′ D
′′ + D
′′ D
′ ,
et le tenseur de courbure Θ(D) est de type (1, 1). Puisque d
′ d
′′ + d
′′ d
′ = 0, nous
obtenons
(D
′ D
′′ + D
′′ D
′ )u ≃ τ H
−1 d
′ H ∧ d
′′ u + d
′′ (H
−1 d
′ H ∧ u) = d
′′ (H
−1 d
′ H) ∧ u.
1.10. Proposition. Le tenseur de courbure de Chern Θ(E) := Θ(D) est tel que
i Θ(E) ∈ C
∞ (X, Λ
1,1 T
⋆
X ⊗ Herm(E, E)).
Si τ : E ↾Ω → Ω × C
r est une trivialisation holomorphe et si H est la matrice
hermitienne repr´ esentant la m´ etrique le long des fibres de E ↾Ω , alors
i Θ(E) ≃ τ i d
′′ (H
−1 d
′ H) sur Ω.
Si (z 1 , . . . , z n ) sont des coordonn´ ees holomorphes sur X et si (e λ ) 1λr est
un rep` ere orthonorm´ e de E, on peut ´ ecrire
(1.11)
i Θ(E) =
1j,kn, 1λ,µr
c jkλµ dz j ∧ dz k ⊗ e
⋆
λ ⊗ e µ ,
o` u (c jkλµ (x)) sont les coefficients du tenseur de courbure de E en tout point x ∈ X.
2. Op´ erateurs diff´ erentiels sur les fibr´ es vectoriels
Nous d´ ecrivons d’abord quelques concepts de base concernant les op´ erateurs
diff´ erentiels (symbole, composition, ellipticit´ e, adjonction), dans le contexte
g´ en´ eral des fibr´ es vectoriels. Soit M une vari´ et´ e diff´ erentiable de classe C
∞ ,
dim R M = m, et soient E, F des K-fibr´ es vectoriels sur M , sur le corps K = R ou
K = C, tels que rang E = r, rang F = r
′ .
2.1. D´ efinition. Un op´ erateur diff´ erentiel (lin´ eaire) de degr´ e δ de E vers F est
un op´ erateur K-lin´ eaire P : C
∞ (M, E) → C
∞ (M, F ), u → P u de la forme
P u(x) =
|α|δ
a α (x)D
α u(x),
E ↾Ω ≃ Ω × K
r , F ↾Ω ≃ Ω × K
r
′ ´ etant trivialis´ es localement sur un ouvert de carte
Ω ⊂ M muni de coordonn´ ees locales (x 1 , . . . , x m ), et les coefficients a α (x) ´ etant
des matrices
a αλµ (x)
1λr ′ , 1µr
de format r
′ × r ` a coefficients C
∞ sur Ω.
On ´ ecrit ici D
α = (∂/∂x 1 )
α 1 · · · (∂/∂x m )
α m comme d’habitude, et les matrices
u = (u µ ) 1µr , D
α u = (D
α u µ ) 1µr sont vues comme des vecteurs colonnes.
Si t ∈ K est un param` etre et f ∈ C
∞ (M, K), u ∈ C
∞ (M, E), un calcul simple
montre que e
−tf (x) P (e
tf (x) u(x)) est un polynˆ ome de degr´ e δ en t, de la forme
e
−tf (x) P (e
tf (x) u(x)) = t
δ σ P (x, df (x)) · u(x) + termes c j (x)t
j de degr´ e j < δ,
J.-P. Demailly, Partie I : Th´ eorie de Hodge L 2
Ces relations montrent que D
′2 = D
′′2 = 0. Par cons´ equent D
2 = D
′ D
′′ + D
′′ D
′ ,
et le tenseur de courbure Θ(D) est de type (1, 1). Puisque d
′ d
′′ + d
′′ d
′ = 0, nous
obtenons
(D
′ D
′′ + D
′′ D
′ )u ≃ τ H
−1 d
′ H ∧ d
′′ u + d
′′ (H
−1 d
′ H ∧ u) = d
′′ (H
−1 d
′ H) ∧ u.
1.10. Proposition. Le tenseur de courbure de Chern Θ(E) := Θ(D) est tel que
i Θ(E) ∈ C
∞ (X, Λ
1,1 T
⋆
X ⊗ Herm(E, E)).
Si τ : E ↾Ω → Ω × C
r est une trivialisation holomorphe et si H est la matrice
hermitienne repr´ esentant la m´ etrique le long des fibres de E ↾Ω , alors
i Θ(E) ≃ τ i d
′′ (H
−1 d
′ H) sur Ω.
Si (z 1 , . . . , z n ) sont des coordonn´ ees holomorphes sur X et si (e λ ) 1λr est
un rep` ere orthonorm´ e de E, on peut ´ ecrire
(1.11)
i Θ(E) =
1j,kn, 1λ,µr
c jkλµ dz j ∧ dz k ⊗ e
⋆
λ ⊗ e µ ,
o` u (c jkλµ (x)) sont les coefficients du tenseur de courbure de E en tout point x ∈ X.
2. Op´ erateurs diff´ erentiels sur les fibr´ es vectoriels
Nous d´ ecrivons d’abord quelques concepts de base concernant les op´ erateurs
diff´ erentiels (symbole, composition, ellipticit´ e, adjonction), dans le contexte
g´ en´ eral des fibr´ es vectoriels. Soit M une vari´ et´ e diff´ erentiable de classe C
∞ ,
dim R M = m, et soient E, F des K-fibr´ es vectoriels sur M , sur le corps K = R ou
K = C, tels que rang E = r, rang F = r
′ .
2.1. D´ efinition. Un op´ erateur diff´ erentiel (lin´ eaire) de degr´ e δ de E vers F est
un op´ erateur K-lin´ eaire P : C
∞ (M, E) → C
∞ (M, F ), u → P u de la forme
P u(x) =
|α|δ
a α (x)D
α u(x),
E ↾Ω ≃ Ω × K
r , F ↾Ω ≃ Ω × K
r
′ ´ etant trivialis´ es localement sur un ouvert de carte
Ω ⊂ M muni de coordonn´ ees locales (x 1 , . . . , x m ), et les coefficients a α (x) ´ etant
des matrices
a αλµ (x)
1λr ′ , 1µr
de format r
′ × r ` a coefficients C
∞ sur Ω.
On ´ ecrit ici D
α = (∂/∂x 1 )
α 1 · · · (∂/∂x m )
α m comme d’habitude, et les matrices
u = (u µ ) 1µr , D
α u = (D
α u µ ) 1µr sont vues comme des vecteurs colonnes.
Si t ∈ K est un param` etre et f ∈ C
∞ (M, K), u ∈ C
∞ (M, E), un calcul simple
montre que e
−tf (x) P (e
tf (x) u(x)) est un polynˆ ome de degr´ e δ en t, de la forme
e
−tf (x) P (e
tf (x) u(x)) = t
δ σ P (x, df (x)) · u(x) + termes c j (x)t
j de degr´ e j < δ,