1. Fibr´ es vectoriels, connexions et courbure
11
classe enti` ere c 1 (L) ∈ H
2 (M, Z). Soit en effet A = C
∞ le faisceau des fonctions
C
∞ sur M ; grˆ ace ` a la suite exacte exponentielle
0 −→ Z −→ A
e
2πi •
−→ A
⋆ −→ 0,
c 1 (L) peut ˆ etre d´ efinie en cohomologie de ˇ
Cech comme l’image du cocycle {g jk } ∈
H
1 (M, A
⋆ ) d´ efinissant L par l’application cobord H
1 (M, A
⋆ ) → H
2 (M, Z) ; voir
par exemple [GH78] pour plus de d´ etails.
1.C. Connexions sur les vari´ et´ es complexes
Nous ´ etudions maintenant les propri´ et´ es sp´ ecifiques des connexions li´ ees ` a
l’existence d’une structure complexe sur la vari´ et´ e de base. Si M = X est une
vari´ et´ e complexe, toute connexion D sur un fibr´ e vectoriel complexe E de classe
C
∞ peut ˆ etre scind´ ee de mani` ere unique comme somme d’une (1, 0)-connexion et
d’une (0, 1)-connexion, D = D
′ + D
′′ . Dans une trivialisation locale τ donn´ ee par
un rep` ere C
∞ , on peut ´ ecrire
D
′ u ≃ τ d
′ u + Γ
′ ∧ u,
(1.8
′ )
D
′′ u ≃ τ d
′′ u + Γ
′′ ∧ u,
(1.8
′′ )
avec Γ = Γ
′ + Γ
′′ . La connexion est hermitienne si et seulement si Γ
′ = −(Γ
′′ )
⋆
relativement ` a tout rep` ere orthonorm´ e. Par cons´ equent, il existe une unique
connexion hermitienne D associ´ ee ` a une (0, 1)-connexion prescrite D
′′ .
Supposons maintenant que le fibr´ e E lui-mˆ eme poss` ede une structure holomorphe. L’unique connexion hermitienne dont la composante D
′′ est l’op´ erateur d
′′
d´ efini au §1.A est appel´ ee la connexion de Chern de E. Dans un rep` ere holomorphe
local (e λ ) de E |Ω , la m´ etrique est donn´ ee par la matrice hermitienne H = (h λµ )
o` u h λµ = e λ , e µ . Nous avons
{u, v} =
λ,µ
h λµ u λ ∧ v µ = u
† ∧ Hv,
o` u u
† est la matrice transpos´ ee de u, et un calcul facile donne
d{u, v} = (du)
† ∧ Hv + (−1)
deg u u
† ∧ (dH ∧ v + Hdv)
=
du + H
−1 d
′ H ∧ u
† ∧ Hv + (−1)
deg u u
† ∧ (dv + H
−1 d ′ H ∧ v),
en utilisant le fait que dH = d
′ H + d ′ H et H
† = H. Par cons´ equent la connexion
de Chern D co¨ ıncide avec la connexion hermitienne d´ efinie par
(1.9)
Du ≃ τ du + H
−1 d
′ H ∧ u,
D
′ ≃ τ d
′ + H
−1 d
′ H ∧ • = H
−1 d
′ (H•), D
′′ = d
′′ .
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classe enti` ere c 1 (L) ∈ H
2 (M, Z). Soit en effet A = C
∞ le faisceau des fonctions
C
∞ sur M ; grˆ ace ` a la suite exacte exponentielle
0 −→ Z −→ A
e
2πi •
−→ A
⋆ −→ 0,
c 1 (L) peut ˆ etre d´ efinie en cohomologie de ˇ
Cech comme l’image du cocycle {g jk } ∈
H
1 (M, A
⋆ ) d´ efinissant L par l’application cobord H
1 (M, A
⋆ ) → H
2 (M, Z) ; voir
par exemple [GH78] pour plus de d´ etails.
1.C. Connexions sur les vari´ et´ es complexes
Nous ´ etudions maintenant les propri´ et´ es sp´ ecifiques des connexions li´ ees ` a
l’existence d’une structure complexe sur la vari´ et´ e de base. Si M = X est une
vari´ et´ e complexe, toute connexion D sur un fibr´ e vectoriel complexe E de classe
C
∞ peut ˆ etre scind´ ee de mani` ere unique comme somme d’une (1, 0)-connexion et
d’une (0, 1)-connexion, D = D
′ + D
′′ . Dans une trivialisation locale τ donn´ ee par
un rep` ere C
∞ , on peut ´ ecrire
D
′ u ≃ τ d
′ u + Γ
′ ∧ u,
(1.8
′ )
D
′′ u ≃ τ d
′′ u + Γ
′′ ∧ u,
(1.8
′′ )
avec Γ = Γ
′ + Γ
′′ . La connexion est hermitienne si et seulement si Γ
′ = −(Γ
′′ )
⋆
relativement ` a tout rep` ere orthonorm´ e. Par cons´ equent, il existe une unique
connexion hermitienne D associ´ ee ` a une (0, 1)-connexion prescrite D
′′ .
Supposons maintenant que le fibr´ e E lui-mˆ eme poss` ede une structure holomorphe. L’unique connexion hermitienne dont la composante D
′′ est l’op´ erateur d
′′
d´ efini au §1.A est appel´ ee la connexion de Chern de E. Dans un rep` ere holomorphe
local (e λ ) de E |Ω , la m´ etrique est donn´ ee par la matrice hermitienne H = (h λµ )
o` u h λµ = e λ , e µ . Nous avons
{u, v} =
λ,µ
h λµ u λ ∧ v µ = u
† ∧ Hv,
o` u u
† est la matrice transpos´ ee de u, et un calcul facile donne
d{u, v} = (du)
† ∧ Hv + (−1)
deg u u
† ∧ (dH ∧ v + Hdv)
=
du + H
−1 d
′ H ∧ u
† ∧ Hv + (−1)
deg u u
† ∧ (dv + H
−1 d ′ H ∧ v),
en utilisant le fait que dH = d
′ H + d ′ H et H
† = H. Par cons´ equent la connexion
de Chern D co¨ ıncide avec la connexion hermitienne d´ efinie par
(1.9)
Du ≃ τ du + H
−1 d
′ H ∧ u,
D
′ ≃ τ d
′ + H
−1 d
′ H ∧ • = H
−1 d
′ (H•), D
′′ = d
′′ .