10
J.-P. Demailly, Partie I : Th´ eorie de Hodge L 2
o` u Γ ∈ C
∞ (Ω, Λ
1 T
⋆
M ⊗ Hom(C
r , C
r )) est une matrice arbitraire de 1-formes et
o` u d agit composantes par composantes sur u ≃ τ (u λ ) 1λr . Il est alors facile de
v´ erifier que
D
2 u ≃ τ (dΓ + Γ ∧ Γ) ∧ u sur Ω.
Puisque D
2 est un op´ erateur globalement d´ efini, il existe une 2-forme globale
(1.5)
Θ(D) ∈ C
∞ (M, Λ
2 T
⋆
M ⊗ Hom(E, E))
telle que D
2 u = Θ(D)∧u pour toute forme u ` a valeurs dans E. Cette 2-forme Θ(D)
` a valeurs dans Hom(E, E) est appel´ ee tenseur de courbure de la connexion D.
Supposons maintenant que E soit muni d’une m´ etrique euclidienne (resp.
hermitienne) de classe C
∞ et que l’isomorphisme E |Ω ≃ Ω × C
r soit donn´ e par
un rep` ere (e λ ) de classe C
∞ . Nous avons alors un accouplement bilin´ eaire (resp.
sesquilin´ eaire) canonique
C
∞ (M, Λ
p T
⋆
M ⊗ E) × C
∞ (M, Λ
q T
⋆
M ⊗ E) −→ C
∞ (M, Λ
p+q T
⋆
M ⊗ C)
(1.6)
(u, v) −→ {u, v}
donn´ e par
{u, v} =
λ,µ
u λ ∧ v µ e λ , e µ ,
u =
u λ ⊗ e λ , v =
v µ ⊗ e µ .
La connexion D est dite hermitienne si elle satisfait la propri´ et´ e suppl´ ementaire
d{u, v} = {Du, v} + (−1)
deg u {u, Dv}.
En supposant que (e λ ) est orthonorm´ e, on v´ erifie ais´ ement que D est hermitienne
si et seulement si Γ
⋆ = −Γ. Dans ce cas Θ(D)
⋆ = −Θ(D), donc
i Θ(D) ∈ C
∞ (M, Λ
2 T
⋆
M ⊗ Herm(E, E)).
1.7. Cas particulier. Pour un fibr´ e en droites complexe L (fibr´ e vectoriel
complexe de rang 1), la forme de connexion Γ d’une connexion hermitienne D
peut ˆ etre vue comme une 1-forme ` a coefficients purement imaginaires Γ = iA (A
r´ eelle). Nous avons alors Θ(D) = dΓ = i dA. En particulier i Θ(L) est une 2-forme
ferm´ ee. La premi` ere classe de Chern de L est d´ efinie comme ´ etant la classe de
cohomologie
c 1 (L) R =
i
2π
Θ(D)
∈ H
2
DR (M, R).
Cette classe de cohomologie est bien ind´ ependante de la connexion, puisque toute
autre connexion D 1 diff` ere par une 1-forme globale, D 1 u = Du+B ∧u, de sorte que
Θ(D 1 ) = Θ(D)+dB. Il est bien-connu que c 1 (L) R est l’image dans H
2 (M, R) d’une
J.-P. Demailly, Partie I : Th´ eorie de Hodge L 2
o` u Γ ∈ C
∞ (Ω, Λ
1 T
⋆
M ⊗ Hom(C
r , C
r )) est une matrice arbitraire de 1-formes et
o` u d agit composantes par composantes sur u ≃ τ (u λ ) 1λr . Il est alors facile de
v´ erifier que
D
2 u ≃ τ (dΓ + Γ ∧ Γ) ∧ u sur Ω.
Puisque D
2 est un op´ erateur globalement d´ efini, il existe une 2-forme globale
(1.5)
Θ(D) ∈ C
∞ (M, Λ
2 T
⋆
M ⊗ Hom(E, E))
telle que D
2 u = Θ(D)∧u pour toute forme u ` a valeurs dans E. Cette 2-forme Θ(D)
` a valeurs dans Hom(E, E) est appel´ ee tenseur de courbure de la connexion D.
Supposons maintenant que E soit muni d’une m´ etrique euclidienne (resp.
hermitienne) de classe C
∞ et que l’isomorphisme E |Ω ≃ Ω × C
r soit donn´ e par
un rep` ere (e λ ) de classe C
∞ . Nous avons alors un accouplement bilin´ eaire (resp.
sesquilin´ eaire) canonique
C
∞ (M, Λ
p T
⋆
M ⊗ E) × C
∞ (M, Λ
q T
⋆
M ⊗ E) −→ C
∞ (M, Λ
p+q T
⋆
M ⊗ C)
(1.6)
(u, v) −→ {u, v}
donn´ e par
{u, v} =
λ,µ
u λ ∧ v µ e λ , e µ ,
u =
u λ ⊗ e λ , v =
v µ ⊗ e µ .
La connexion D est dite hermitienne si elle satisfait la propri´ et´ e suppl´ ementaire
d{u, v} = {Du, v} + (−1)
deg u {u, Dv}.
En supposant que (e λ ) est orthonorm´ e, on v´ erifie ais´ ement que D est hermitienne
si et seulement si Γ
⋆ = −Γ. Dans ce cas Θ(D)
⋆ = −Θ(D), donc
i Θ(D) ∈ C
∞ (M, Λ
2 T
⋆
M ⊗ Herm(E, E)).
1.7. Cas particulier. Pour un fibr´ e en droites complexe L (fibr´ e vectoriel
complexe de rang 1), la forme de connexion Γ d’une connexion hermitienne D
peut ˆ etre vue comme une 1-forme ` a coefficients purement imaginaires Γ = iA (A
r´ eelle). Nous avons alors Θ(D) = dΓ = i dA. En particulier i Θ(L) est une 2-forme
ferm´ ee. La premi` ere classe de Chern de L est d´ efinie comme ´ etant la classe de
cohomologie
c 1 (L) R =
i
2π
Θ(D)
∈ H
2
DR (M, R).
Cette classe de cohomologie est bien ind´ ependante de la connexion, puisque toute
autre connexion D 1 diff` ere par une 1-forme globale, D 1 u = Du+B ∧u, de sorte que
Θ(D 1 ) = Θ(D)+dB. Il est bien-connu que c 1 (L) R est l’image dans H
2 (M, R) d’une