1. Fibr´ es vectoriels, connexions et courbure
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Maintenant, rappelons le r´ esultat fondamental suivant de th´ eorie des faisceaux
(th´ eor` eme d’isomorphisme de De Rham-Weil) : soit (L
• , d) une r´ esolution d’un
faisceau F par des faisceaux acycliques, i.e. un complexe de faisceaux (L
• , δ)
donnant une suite exacte de faisceaux
0 −→ F
j
−→ L
0 δ
0
−→ L
1 −→ · · · −→ L
q δ
q
−→ L
q+1 −→ · · · ,
avec H
s (X, L
q ) = 0 pour tout q 0 et s 1 (pour avoir cette derni` ere condition
d’acyclicit´ e, il suffit par exemple que les L
q soient flasques ou mous, par exemple
des faisceaux de modules sur le faisceau d’anneau C
∞ ). Alors il y a un isomorphisme
fonctoriel
(1.2)
H
q
Γ(X, L
• )
−→ H
q (X, F).
Nous appliquons ceci dans la situation suivante : soit A
p,q (E) le faisceau de germes
de sections C
∞ de Λ
p,q T
⋆
X ⊗ E. Alors (A
p,• (E), d
′′ ) est une r´ esolution du O X -
module localement libre Ω
p
X ⊗ O(E) (lemme de Dolbeault-Grothendieck), et les
faisceaux A
p,q (E) sont acycliques comme C
∞ -modules. Grˆ ace ` a (1.2) nous obtenons
1.3. Th´ eor` eme d’isomorphisme de Dolbeault (1953). Pour tout fibr´ e vectoriel holomorphe E sur X, il existe un isomorphisme canonique
H
p,q (X, E) ≃ H
q (X, Ω
p
X ⊗ O(E)).
Si X est alg´ ebrique projective et si E est un fibr´ e vectoriel alg´ ebrique,
le th´ eor` eme GAGA de Serre [Ser56] montre que les groupes de cohomologie
alg´ ebrique H
q (X, Ω
p
X ⊗ O(E)) calcul´ es avec les sections alg´ ebriques des faisceaux
concern´ es sur des ouverts de Zariski sont isomorphes aux groupes de cohomologie
analytiques correspondants. Comme nous utiliserons ici un point de vue exclusivement analytique, nous n’aurons en fait pas besoin de ce th´ eor` eme de comparaison.
1.B. Connexions sur les vari´ et´ es diff´ erentiables
Soit E un fibr´ e vectoriel r´ eel ou complexe de rang r sur une vari´ et´ e
diff´ erentiable M de classe C
∞ . Une connexion D sur E est un op´ erateur diff´ erentiel
lin´ eaire d’ordre 1
D : C
∞ (M, Λ
q T
⋆
M ⊗ E) → C
∞ (M, Λ
q+1 T
⋆
M ⊗ E)
tel que D satisfasse la r` egle de Leibnitz
(1.4)
D(f ∧ u) = df ∧ u + (−1)
deg f f ∧ Du
pour toutes formes f ∈ C
∞ (M, Λ
p T
⋆
M ), u ∈ C
∞ (X, Λ
q T
⋆
M ⊗ E). Sur un ouvert
Ω ⊂ M o` u E admet une trivialisation τ : E |Ω
≃
−→ Ω × C
r , une connexion D peut
s’´ ecrire
Du ≃ τ du + Γ ∧ u
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Maintenant, rappelons le r´ esultat fondamental suivant de th´ eorie des faisceaux
(th´ eor` eme d’isomorphisme de De Rham-Weil) : soit (L
• , d) une r´ esolution d’un
faisceau F par des faisceaux acycliques, i.e. un complexe de faisceaux (L
• , δ)
donnant une suite exacte de faisceaux
0 −→ F
j
−→ L
0 δ
0
−→ L
1 −→ · · · −→ L
q δ
q
−→ L
q+1 −→ · · · ,
avec H
s (X, L
q ) = 0 pour tout q 0 et s 1 (pour avoir cette derni` ere condition
d’acyclicit´ e, il suffit par exemple que les L
q soient flasques ou mous, par exemple
des faisceaux de modules sur le faisceau d’anneau C
∞ ). Alors il y a un isomorphisme
fonctoriel
(1.2)
H
q
Γ(X, L
• )
−→ H
q (X, F).
Nous appliquons ceci dans la situation suivante : soit A
p,q (E) le faisceau de germes
de sections C
∞ de Λ
p,q T
⋆
X ⊗ E. Alors (A
p,• (E), d
′′ ) est une r´ esolution du O X -
module localement libre Ω
p
X ⊗ O(E) (lemme de Dolbeault-Grothendieck), et les
faisceaux A
p,q (E) sont acycliques comme C
∞ -modules. Grˆ ace ` a (1.2) nous obtenons
1.3. Th´ eor` eme d’isomorphisme de Dolbeault (1953). Pour tout fibr´ e vectoriel holomorphe E sur X, il existe un isomorphisme canonique
H
p,q (X, E) ≃ H
q (X, Ω
p
X ⊗ O(E)).
Si X est alg´ ebrique projective et si E est un fibr´ e vectoriel alg´ ebrique,
le th´ eor` eme GAGA de Serre [Ser56] montre que les groupes de cohomologie
alg´ ebrique H
q (X, Ω
p
X ⊗ O(E)) calcul´ es avec les sections alg´ ebriques des faisceaux
concern´ es sur des ouverts de Zariski sont isomorphes aux groupes de cohomologie
analytiques correspondants. Comme nous utiliserons ici un point de vue exclusivement analytique, nous n’aurons en fait pas besoin de ce th´ eor` eme de comparaison.
1.B. Connexions sur les vari´ et´ es diff´ erentiables
Soit E un fibr´ e vectoriel r´ eel ou complexe de rang r sur une vari´ et´ e
diff´ erentiable M de classe C
∞ . Une connexion D sur E est un op´ erateur diff´ erentiel
lin´ eaire d’ordre 1
D : C
∞ (M, Λ
q T
⋆
M ⊗ E) → C
∞ (M, Λ
q+1 T
⋆
M ⊗ E)
tel que D satisfasse la r` egle de Leibnitz
(1.4)
D(f ∧ u) = df ∧ u + (−1)
deg f f ∧ Du
pour toutes formes f ∈ C
∞ (M, Λ
p T
⋆
M ), u ∈ C
∞ (X, Λ
q T
⋆
M ⊗ E). Sur un ouvert
Ω ⊂ M o` u E admet une trivialisation τ : E |Ω
≃
−→ Ω × C
r , une connexion D peut
s’´ ecrire
Du ≃ τ du + Γ ∧ u