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J.-P. Demailly, Partie I : Th´ eorie de Hodge L 2
Partie I : Th´ eorie de Hodge L
2
1. Fibr´ es vectoriels, connexions et courbure
Le but de cette section est de rappeler quelques d´ efinitions de base de g´ eom´ etrie
diff´ erentielle hermitienne li´ ees aux concepts de connexion, courbure et premi` ere
classe de Chern d’un fibr´ e en droites.
1.A. Cohomologie de Dolbeault et cohomologie des faisceaux
Soit X une vari´ et´ e C-analytique de dimension n. Nous d´ esignons par Λ
p,q T
⋆
X le
fibr´ e des formes diff´ erentielles de bidegr´ e (p, q) sur X, i.e., les formes diff´ erentielles
qui peuvent s’´ ecrire
u =
|I|=p, |J|=q
u I,J dz I ∧ dz J ,
dz I := dz i 1 ∧ · · · ∧ dz i p , dz J := dz j 1 ∧ · · · ∧ dz j q ,
o` u (z 1 , . . . , z n ) d´ esignent des coordonn´ ees locales holomorphes, et o` u I =
(i 1 , . . . , i p ) et J = (j 1 , . . . , j q ) sont des multi-indices (suites croissantes d’entiers
de l’intervalle [1, . . . , n], de longueurs |I| = p, |J| = q). Soit A
p,q le faisceau des
germes de formes diff´ erentielles de bidegr´ e (p, q) ` a valeurs complexes et ` a coefficients C
∞ . Rappelons que la diff´ erentielle ext´ erieure d se d´ ecompose en d = d
′ +d
′′
o` u
d
′ u =
|I|=p, |J|=q,1kn
∂u I,J
∂z k
dz k ∧ dz I ∧ dz J ,
d
′′ u =
|I|=p, |J|=q,1kn
∂u I,J
∂z k
dz k ∧ dz I ∧ dz J
sont de type (p+1, q), (p, q+1) respectivement. Le lemme bien-connu de DolbeaultGrothendieck affirme que toute forme d
′′ -ferm´ ee de type (p, q) avec q > 0 est
localement d
′′ -exacte (c’est l’analogue pour d
′′ du lemme usuel de Poincar´ e pour d,
voir par exemple [H¨ or66]). En d’autres termes, le complexe de faisceaux (A
p,• , d
′′ )
est exact en degr´ e q > 0 ; en degr´ e q = 0, Ker d
′′ est le faisceau Ω
p
X des germes de
formes holomorphes de degr´ e p sur X.
Plus g´ en´ eralement, si E est un fibr´ e vectoriel holomorphe de rang r sur X,
il existe un op´ erateur d
′′ naturel agissant sur l’espace C
∞ (X, Λ
p,q T
⋆
X ⊗ E) des
(p, q)-formes C
∞ ` a valeurs dans E. En effet, si s =
1λr s λ e λ est une (p, q)forme exprim´ ee en termes d’un rep` ere holomorphe local de E, on peut d´ efinir
d
′′ s :=
d
′′ s λ ⊗ e λ , en observant que les matrices de transition mises en jeu
dans des changements de rep` eres holomorphes sont holomorphes, ce qui n’affecte
pas le calcul de d
′′ . Il est alors clair que le lemme de Dolbeault-Grothendieck est
encore valable pour des formes ` a valeurs dans E. Pour tout entier p = 0, 1, . . . , n,
les groupes de cohomologie de Dolbeault H
p,q (X, E) sont d´ efinis comme ´ etant les
groupes de cohomologie du complexe des formes globales de type (p, q) (gradu´ e
par q) :
(1.1)
H
p,q (X, E) = H
q
C
∞ (X, Λ
p,• T
⋆
X ⊗ E)
.
J.-P. Demailly, Partie I : Th´ eorie de Hodge L 2
Partie I : Th´ eorie de Hodge L
2
1. Fibr´ es vectoriels, connexions et courbure
Le but de cette section est de rappeler quelques d´ efinitions de base de g´ eom´ etrie
diff´ erentielle hermitienne li´ ees aux concepts de connexion, courbure et premi` ere
classe de Chern d’un fibr´ e en droites.
1.A. Cohomologie de Dolbeault et cohomologie des faisceaux
Soit X une vari´ et´ e C-analytique de dimension n. Nous d´ esignons par Λ
p,q T
⋆
X le
fibr´ e des formes diff´ erentielles de bidegr´ e (p, q) sur X, i.e., les formes diff´ erentielles
qui peuvent s’´ ecrire
u =
|I|=p, |J|=q
u I,J dz I ∧ dz J ,
dz I := dz i 1 ∧ · · · ∧ dz i p , dz J := dz j 1 ∧ · · · ∧ dz j q ,
o` u (z 1 , . . . , z n ) d´ esignent des coordonn´ ees locales holomorphes, et o` u I =
(i 1 , . . . , i p ) et J = (j 1 , . . . , j q ) sont des multi-indices (suites croissantes d’entiers
de l’intervalle [1, . . . , n], de longueurs |I| = p, |J| = q). Soit A
p,q le faisceau des
germes de formes diff´ erentielles de bidegr´ e (p, q) ` a valeurs complexes et ` a coefficients C
∞ . Rappelons que la diff´ erentielle ext´ erieure d se d´ ecompose en d = d
′ +d
′′
o` u
d
′ u =
|I|=p, |J|=q,1kn
∂u I,J
∂z k
dz k ∧ dz I ∧ dz J ,
d
′′ u =
|I|=p, |J|=q,1kn
∂u I,J
∂z k
dz k ∧ dz I ∧ dz J
sont de type (p+1, q), (p, q+1) respectivement. Le lemme bien-connu de DolbeaultGrothendieck affirme que toute forme d
′′ -ferm´ ee de type (p, q) avec q > 0 est
localement d
′′ -exacte (c’est l’analogue pour d
′′ du lemme usuel de Poincar´ e pour d,
voir par exemple [H¨ or66]). En d’autres termes, le complexe de faisceaux (A
p,• , d
′′ )
est exact en degr´ e q > 0 ; en degr´ e q = 0, Ker d
′′ est le faisceau Ω
p
X des germes de
formes holomorphes de degr´ e p sur X.
Plus g´ en´ eralement, si E est un fibr´ e vectoriel holomorphe de rang r sur X,
il existe un op´ erateur d
′′ naturel agissant sur l’espace C
∞ (X, Λ
p,q T
⋆
X ⊗ E) des
(p, q)-formes C
∞ ` a valeurs dans E. En effet, si s =
1λr s λ e λ est une (p, q)forme exprim´ ee en termes d’un rep` ere holomorphe local de E, on peut d´ efinir
d
′′ s :=
d
′′ s λ ⊗ e λ , en observant que les matrices de transition mises en jeu
dans des changements de rep` eres holomorphes sont holomorphes, ce qui n’affecte
pas le calcul de d
′′ . Il est alors clair que le lemme de Dolbeault-Grothendieck est
encore valable pour des formes ` a valeurs dans E. Pour tout entier p = 0, 1, . . . , n,
les groupes de cohomologie de Dolbeault H
p,q (X, E) sont d´ efinis comme ´ etant les
groupes de cohomologie du complexe des formes globales de type (p, q) (gradu´ e
par q) :
(1.1)
H
p,q (X, E) = H
q
C
∞ (X, Λ
p,• T
⋆
X ⊗ E)
.