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J.-P. Demailly, Partie II : Estimations L 2 et th´ eor` emes d’Annulation
D’apr` es 15.18 b), le fibr´ e en droites O((k − k 0 )L + A) est ample, donc il peut
ˆ etre muni d’une m´ etrique hermitienne h k = e
−ϕ k de classe C
∞ et de forme de
courbure d´ efinie positive ω k =
i
2π Θ((k − k 0 )L + A). Soit ϕ D =
α j log |g j | le
poids de la m´ etrique singuli` ere sur O(D) d´ ecrite dans l’exemple 11.21, telle que
i
2π Θ(O(D)) = [D], et de fa¸ con analogue, soit ϕ E le poids tel que
i
2π Θ(O(E)) = [E].
On d´ efinit une m´ etrique singuli` ere sur O(kL) = O((k − k 0 )L + A + E) au moyen du
poids ϕ k + ϕ E , et on obtient alors une m´ etrique singuli` ere sur O(mF ) = O(L + D)
en consid´ erant le poids
1
k
(ϕ k + ϕ E ) + ϕ D . Finalement, on obtient une m´ etrique
sur F de poids
ϕ F =
1
km
(ϕ k + ϕ E ) +
1
m
ϕ D .
La forme de courbure correspondante est
i
2π
Θ(F ) =
1
km
(ω k + [E]) +
1
m
[D]
1
km
ω k > 0.
De plus ϕ F a des singularit´ es alg´ ebriques, et en prenant k assez grand il vient
I(ϕ F ) = I
1
km
E +
1
m
D
= I
1
m
D
.
En effet, I(ϕ F ) se calcule en prenant la partie enti` ere d’un Q-diviseur ` a croisements
normaux, obtenu au moyen d’une modification ad´ equate (comme il a ´ et´ e expliqu´ e
` a la remarque 15.6). Le diviseur
1
km
E +
1
m
D fournit donc la mˆ eme partie enti` ere
que
1
m D lorsque k est grand. Le th´ eor` eme de Nadel implique alors le r´ esultat
d’annulation d´ esir´ e pour tout q 1.
16. Sur la conjecture de Fujita
Etant donn´ e un fibr´ e en droites L ample, une question fondamentale est
de d´ eterminer un entier effectif m 0 tel que mL soit tr` es ample pour m m 0 .
L’exemple o` u X est une courbe hyperelliptique de genre g et o` u L = O(p) est
associ´ e ` a un des 2g + 2 points de Weierstrass montre que m 0 doit ˆ etre au moins
´ egal ` a 2g+1 (on v´ erifie par ailleurs assez facilement que m 0 = 2g+1 r´ epond toujours
` a la question pour une courbe). Il en r´ esulte que m 0 doit n´ ecessairement d´ ependre
de la g´ eom´ etrie de X, et ne peut pas d´ ependre seulement de la dimension de X.
Cependant, lorsque mL est remplac´ e par le fibr´ e en droites “adjoint” K X + mL,
une r´ eponse universelle simple semble pouvoir se d´ egager.
16.1. Conjecture de Fujita ([Fuj87]). Si L est un fibr´ e en droites ample sur une
vari´ et´ e projective de dimension n, alors
i) K X + (n + 1)L est engendr´ e par ses sections globales ;
ii) K X + (n + 2)L est tr` es ample.
Les bornes pr´ edites par la conjecture sont optimales pour (X, L) = (P
n , O(1)),
puisqu’on a alors K X = O(−n − 1). La conjecture est facile ` a v´ erifier dans le cas
J.-P. Demailly, Partie II : Estimations L 2 et th´ eor` emes d’Annulation
D’apr` es 15.18 b), le fibr´ e en droites O((k − k 0 )L + A) est ample, donc il peut
ˆ etre muni d’une m´ etrique hermitienne h k = e
−ϕ k de classe C
∞ et de forme de
courbure d´ efinie positive ω k =
i
2π Θ((k − k 0 )L + A). Soit ϕ D =
α j log |g j | le
poids de la m´ etrique singuli` ere sur O(D) d´ ecrite dans l’exemple 11.21, telle que
i
2π Θ(O(D)) = [D], et de fa¸ con analogue, soit ϕ E le poids tel que
i
2π Θ(O(E)) = [E].
On d´ efinit une m´ etrique singuli` ere sur O(kL) = O((k − k 0 )L + A + E) au moyen du
poids ϕ k + ϕ E , et on obtient alors une m´ etrique singuli` ere sur O(mF ) = O(L + D)
en consid´ erant le poids
1
k
(ϕ k + ϕ E ) + ϕ D . Finalement, on obtient une m´ etrique
sur F de poids
ϕ F =
1
km
(ϕ k + ϕ E ) +
1
m
ϕ D .
La forme de courbure correspondante est
i
2π
Θ(F ) =
1
km
(ω k + [E]) +
1
m
[D]
1
km
ω k > 0.
De plus ϕ F a des singularit´ es alg´ ebriques, et en prenant k assez grand il vient
I(ϕ F ) = I
1
km
E +
1
m
D
= I
1
m
D
.
En effet, I(ϕ F ) se calcule en prenant la partie enti` ere d’un Q-diviseur ` a croisements
normaux, obtenu au moyen d’une modification ad´ equate (comme il a ´ et´ e expliqu´ e
` a la remarque 15.6). Le diviseur
1
km
E +
1
m
D fournit donc la mˆ eme partie enti` ere
que
1
m D lorsque k est grand. Le th´ eor` eme de Nadel implique alors le r´ esultat
d’annulation d´ esir´ e pour tout q 1.
16. Sur la conjecture de Fujita
Etant donn´ e un fibr´ e en droites L ample, une question fondamentale est
de d´ eterminer un entier effectif m 0 tel que mL soit tr` es ample pour m m 0 .
L’exemple o` u X est une courbe hyperelliptique de genre g et o` u L = O(p) est
associ´ e ` a un des 2g + 2 points de Weierstrass montre que m 0 doit ˆ etre au moins
´ egal ` a 2g+1 (on v´ erifie par ailleurs assez facilement que m 0 = 2g+1 r´ epond toujours
` a la question pour une courbe). Il en r´ esulte que m 0 doit n´ ecessairement d´ ependre
de la g´ eom´ etrie de X, et ne peut pas d´ ependre seulement de la dimension de X.
Cependant, lorsque mL est remplac´ e par le fibr´ e en droites “adjoint” K X + mL,
une r´ eponse universelle simple semble pouvoir se d´ egager.
16.1. Conjecture de Fujita ([Fuj87]). Si L est un fibr´ e en droites ample sur une
vari´ et´ e projective de dimension n, alors
i) K X + (n + 1)L est engendr´ e par ses sections globales ;
ii) K X + (n + 2)L est tr` es ample.
Les bornes pr´ edites par la conjecture sont optimales pour (X, L) = (P
n , O(1)),
puisqu’on a alors K X = O(−n − 1). La conjecture est facile ` a v´ erifier dans le cas