16. Sur la conjecture de Fujita
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des courbes (exercice !), et I. Reider [Rei88] a r´ esolu la conjecture par l’affirmative
dans le cas n = 2. Ein-Lazarsfeld [EL93] et Fujita [Fuj93] sont parvenus `
a ´ etablir la
partie i) en dimension 3, et un raffinement tr` es pouss´ e de leur technique a permis
` a Kawamata [Kaw95] d’atteindre aussi le cas de la dimension 4
1 . Les autres cas
de la conjecture, ` a savoir i) pour n 5 et ii) pour n 3, restent pour l’instant
non r´ esolus. Le premier pas en direction de la conjecture pour la dimension n
quelconque a ´ et´ e r´ ealis´ e en 1991 (travail paru 2 ans plus tard dans [Dem93]),
au moyen d’une m´ ethode analytique reposant sur la r´ esolution d’une ´ equation de
Monge-Amp` ere. D’autres r´ esultats similaires ont ´ et´ e obtenus par Koll´ ar [Kol92] par
des m´ ethodes enti` erement alg´ ebriques ; nous renvoyons `
a [Laz93] pour un excellent
article de synth` ese consacr´ e ` a ces d´ eveloppements, ainsi qu’` a [Dem94] pour le
versant analytique de la th´ eorie.
Ce paragraphe est consacr´ e ` a la d´ emonstration de quelques r´ esultats li´ es ` a la
conjecture de Fujita en dimension arbitraire. Les id´ ees principales mises en jeu ici
sont inspir´ ees d’un travail r´ ecent de Y.T. Siu [Siu96]. La m´ ethode de Siu, qui est
de nature alg´ ebrique et relativement ´ el´ ementaire, consiste ` a combiner la formule
de Riemann-Roch avec le th´ eor` eme d’annulation de Kawamata-Viehweg (il sera
cependant beaucoup plus commode d’utiliser ce th´ eor` eme dans la formulation
de Nadel faisant intervenir le faisceau d’id´ eaux multiplicateurs). Dans toute la
suite, X d´ esigne une vari´ et´ e projective alg´ ebrique de dimension n. La premi` ere
observation utile est la cons´ equence classique suivante de la formule de RiemannRoch :
16.2. Cas particulier de la formule de Riemann-Roch. Soit J ⊂ O X
un faisceau d’id´ eaux coh´ erent sur X tel que la vari´ et´ e des z´ eros V (J) soit de
dimension d (avec ´ eventuellement des composantes de dimension plus basse). Soit
Y =
λ j Y j le cycle alg´ ebrique effectif de dimension d associ´ e aux composantes
de dimension d de V (J) (les multiplicit´ es λ j prennent en compte les multiplicit´ es
de l’id´ eal J le long de chaque composante). Alors, pour tout fibr´ e en droites E,
la caract´ eristique d’Euler χ(X, O(E + mL) ⊗ O X /O(J)) est un polynˆ ome P (m) de
degr´ e d et de coefficient directeur L
d · Y /d!
Le deuxi` eme fait utile est un lemme ´ el´ ementaire concernant les polynˆ omes
num´ eriques (polynˆ omes ` a coefficients rationnels, d´ efinissant une application de Z
dans Z).
16.3. Lemme. Soit P (m) un polynˆ ome num´ erique de degr´ e d > 0 et de coefficient
directeur a d /d!, a d ∈ Z, a d > 0. On suppose que P (m) 0 pour tout m m 0 .
Alors
a) Pour tout N 0, il existe m ∈ [m 0 , m 0 + N d] tel que P (m) N .
b) Pour tout k ∈ N, il existe m ∈ [m 0 , m 0 + kd] tel que P (m) a d k
d /2
d−1 .
c) Pour tout N 2d
2 , il existe m ∈ [m 0 , m 0 + N ] tel que P (m) N .
1 La technique de Fujita [Fuj93] et Kawamata [Kaw95] vient d’ˆ etre consid´ erablement simplifi´ ee
et clarifi´ ee par S. Helmke [Hel96].
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des courbes (exercice !), et I. Reider [Rei88] a r´ esolu la conjecture par l’affirmative
dans le cas n = 2. Ein-Lazarsfeld [EL93] et Fujita [Fuj93] sont parvenus `
a ´ etablir la
partie i) en dimension 3, et un raffinement tr` es pouss´ e de leur technique a permis
` a Kawamata [Kaw95] d’atteindre aussi le cas de la dimension 4
1 . Les autres cas
de la conjecture, ` a savoir i) pour n 5 et ii) pour n 3, restent pour l’instant
non r´ esolus. Le premier pas en direction de la conjecture pour la dimension n
quelconque a ´ et´ e r´ ealis´ e en 1991 (travail paru 2 ans plus tard dans [Dem93]),
au moyen d’une m´ ethode analytique reposant sur la r´ esolution d’une ´ equation de
Monge-Amp` ere. D’autres r´ esultats similaires ont ´ et´ e obtenus par Koll´ ar [Kol92] par
des m´ ethodes enti` erement alg´ ebriques ; nous renvoyons `
a [Laz93] pour un excellent
article de synth` ese consacr´ e ` a ces d´ eveloppements, ainsi qu’` a [Dem94] pour le
versant analytique de la th´ eorie.
Ce paragraphe est consacr´ e ` a la d´ emonstration de quelques r´ esultats li´ es ` a la
conjecture de Fujita en dimension arbitraire. Les id´ ees principales mises en jeu ici
sont inspir´ ees d’un travail r´ ecent de Y.T. Siu [Siu96]. La m´ ethode de Siu, qui est
de nature alg´ ebrique et relativement ´ el´ ementaire, consiste ` a combiner la formule
de Riemann-Roch avec le th´ eor` eme d’annulation de Kawamata-Viehweg (il sera
cependant beaucoup plus commode d’utiliser ce th´ eor` eme dans la formulation
de Nadel faisant intervenir le faisceau d’id´ eaux multiplicateurs). Dans toute la
suite, X d´ esigne une vari´ et´ e projective alg´ ebrique de dimension n. La premi` ere
observation utile est la cons´ equence classique suivante de la formule de RiemannRoch :
16.2. Cas particulier de la formule de Riemann-Roch. Soit J ⊂ O X
un faisceau d’id´ eaux coh´ erent sur X tel que la vari´ et´ e des z´ eros V (J) soit de
dimension d (avec ´ eventuellement des composantes de dimension plus basse). Soit
Y =
λ j Y j le cycle alg´ ebrique effectif de dimension d associ´ e aux composantes
de dimension d de V (J) (les multiplicit´ es λ j prennent en compte les multiplicit´ es
de l’id´ eal J le long de chaque composante). Alors, pour tout fibr´ e en droites E,
la caract´ eristique d’Euler χ(X, O(E + mL) ⊗ O X /O(J)) est un polynˆ ome P (m) de
degr´ e d et de coefficient directeur L
d · Y /d!
Le deuxi` eme fait utile est un lemme ´ el´ ementaire concernant les polynˆ omes
num´ eriques (polynˆ omes ` a coefficients rationnels, d´ efinissant une application de Z
dans Z).
16.3. Lemme. Soit P (m) un polynˆ ome num´ erique de degr´ e d > 0 et de coefficient
directeur a d /d!, a d ∈ Z, a d > 0. On suppose que P (m) 0 pour tout m m 0 .
Alors
a) Pour tout N 0, il existe m ∈ [m 0 , m 0 + N d] tel que P (m) N .
b) Pour tout k ∈ N, il existe m ∈ [m 0 , m 0 + kd] tel que P (m) a d k
d /2
d−1 .
c) Pour tout N 2d
2 , il existe m ∈ [m 0 , m 0 + N ] tel que P (m) N .
1 La technique de Fujita [Fuj93] et Kawamata [Kaw95] vient d’ˆ etre consid´ erablement simplifi´ ee
et clarifi´ ee par S. Helmke [Hel96].