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J.-P. Demailly, Partie II : Estimations L 2 et th´ eor` emes d’Annulation
Preuve. a) Chacune des N ´ equations P (m) = 0, P (m) = 1, . . ., P (m) = N − 1
a au plus d racines, donc il y a n´ ecessiarement un entier m ∈ [m 0 , m 0 + dN ] qui
n’est pas une racine de ces ´ equations.
b) Grˆ ace ` a la formule de Newton pour les diff´ erences it´ er´ ees ∆P (m) = P (m + 1) −
P (m), nous obtenons
∆
d P (m) =
1jd
(−1)
j
d
j
P (m + d − j) = a d ,
∀m ∈ Z.
Par suite, si j ∈
0, 2, 4, . . . , 2⌊d/2⌋
⊂ [0, d] est l’entier pair r´ ealisant le maximum
de P (m 0 + d − j) sur cet ensemble fini, nous obtenons
2
d−1 P (m 0 + d − j) =
d
0
+
d
2
+ · · ·
P (m 0 + d − j) a d ,
d’o` u l’existence d’un entier m ∈ [m 0 , m 0 + d] avec P (m) a d /2
d−1 . Le r´ esultat
est donc d´ emontr´ e pour k = 1. Dans le cas g´ en´ eral, nous appliquons ce r´ esultat
particulier au polynˆ ome Q(m) = P (km − (k − 1)m 0 ), dont le coefficient directeur
est a d k
d /d!
c) Si d = 1, la partie a) donne d´ ej` a le r´ esultat. Si d = 2, un coup d’oeil ` a la
parabole montre que
max
m∈[m 0 ,m 0 +N]
P (m)
a 2 N
2 /8
si N est pair,
a 2 (N
2 − 1)/8 si N est impair ;
donc max m∈[m 0 ,m 0 +N] P (m) N chaque fois que N 8. Si d 3, nous appliquons
b) avec k ´ egal au plus petit entier tel que k
d /2
d−1
N , i.e. k = ⌈2(N/2)
1/d ⌉, o` u
⌈x⌉ ∈ Z d´ esigne l’entier arrondi par exc` es. Alors
kd (2(N/2)
1/d + 1)d N
d` es que N 2d
2 , comme on le voit apr` es un bref calcul.
Nous appliquons maintenant le th´ eor` eme d’annulation de Nadel d’une mani` ere
analogue ` a celle de Siu [Siu96], avec quelques simplifications dans la technique et
quelques am´ eliorations pour les bornes. Notre m´ ethode donne simultan´ ement une
preuve simple d’un r´ esultat fondamental classique dˆ u ` a Fujita.
16.4. Th´ eor` eme (Fujita). Si L est un fibr´ e en droites ample sur une vari´ et´ e
projective X de dimension n, alors K X + (n + 1)L est nef.
En utilisant la th´ eorie de Mori et le “base point free theorem” ([Mor82],
[Kaw84]), on peut montrer en fait que K X + (n + 1)L est semi-ample, c’est-` adire qu’il existe un entier positif m tel que m(K X + (n + 1)L) soit engendr´ e par
ses sections (voir [Kaw85] et [Fuj87]). La preuve repose sur l’observation que n + 1
est la longueur maximale des rayons extrˆ emaux de vari´ et´ es projectives lisses de
J.-P. Demailly, Partie II : Estimations L 2 et th´ eor` emes d’Annulation
Preuve. a) Chacune des N ´ equations P (m) = 0, P (m) = 1, . . ., P (m) = N − 1
a au plus d racines, donc il y a n´ ecessiarement un entier m ∈ [m 0 , m 0 + dN ] qui
n’est pas une racine de ces ´ equations.
b) Grˆ ace ` a la formule de Newton pour les diff´ erences it´ er´ ees ∆P (m) = P (m + 1) −
P (m), nous obtenons
∆
d P (m) =
1jd
(−1)
j
d
j
P (m + d − j) = a d ,
∀m ∈ Z.
Par suite, si j ∈
0, 2, 4, . . . , 2⌊d/2⌋
⊂ [0, d] est l’entier pair r´ ealisant le maximum
de P (m 0 + d − j) sur cet ensemble fini, nous obtenons
2
d−1 P (m 0 + d − j) =
d
0
+
d
2
+ · · ·
P (m 0 + d − j) a d ,
d’o` u l’existence d’un entier m ∈ [m 0 , m 0 + d] avec P (m) a d /2
d−1 . Le r´ esultat
est donc d´ emontr´ e pour k = 1. Dans le cas g´ en´ eral, nous appliquons ce r´ esultat
particulier au polynˆ ome Q(m) = P (km − (k − 1)m 0 ), dont le coefficient directeur
est a d k
d /d!
c) Si d = 1, la partie a) donne d´ ej` a le r´ esultat. Si d = 2, un coup d’oeil ` a la
parabole montre que
max
m∈[m 0 ,m 0 +N]
P (m)
a 2 N
2 /8
si N est pair,
a 2 (N
2 − 1)/8 si N est impair ;
donc max m∈[m 0 ,m 0 +N] P (m) N chaque fois que N 8. Si d 3, nous appliquons
b) avec k ´ egal au plus petit entier tel que k
d /2
d−1
N , i.e. k = ⌈2(N/2)
1/d ⌉, o` u
⌈x⌉ ∈ Z d´ esigne l’entier arrondi par exc` es. Alors
kd (2(N/2)
1/d + 1)d N
d` es que N 2d
2 , comme on le voit apr` es un bref calcul.
Nous appliquons maintenant le th´ eor` eme d’annulation de Nadel d’une mani` ere
analogue ` a celle de Siu [Siu96], avec quelques simplifications dans la technique et
quelques am´ eliorations pour les bornes. Notre m´ ethode donne simultan´ ement une
preuve simple d’un r´ esultat fondamental classique dˆ u ` a Fujita.
16.4. Th´ eor` eme (Fujita). Si L est un fibr´ e en droites ample sur une vari´ et´ e
projective X de dimension n, alors K X + (n + 1)L est nef.
En utilisant la th´ eorie de Mori et le “base point free theorem” ([Mor82],
[Kaw84]), on peut montrer en fait que K X + (n + 1)L est semi-ample, c’est-` adire qu’il existe un entier positif m tel que m(K X + (n + 1)L) soit engendr´ e par
ses sections (voir [Kaw85] et [Fuj87]). La preuve repose sur l’observation que n + 1
est la longueur maximale des rayons extrˆ emaux de vari´ et´ es projectives lisses de