16. Sur la conjecture de Fujita
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dimension n. Notre d´ emonstration de (16.4) est diff´ erente et s’obtient en mˆ eme
temps que la d´ emonstration du th. (16.5) ci-dessous.
16.5. Th´ eor` eme. Soit L un fibr´ e en droites ample et soit G un fibr´ e en droites nef
sur une vari´ et´ e projective X de dimension n. On a alors les propri´ et´ es suivantes.
a) 2K X + mL + G engendre les jets simultan´ es d’ordre s 1 , . . . , s p ∈ N en des
points arbitraires x 1 , . . . , x p ∈ X, i.e., il existe une application surjective
H
0 (X, O(2K X + mL + G)) −→ −→
1jp
O(2K X + mL + G) ⊗ O X,x j /m
s j +1
X,x j
,
d` es que m 2 +
1jp
3n + 2s j − 1
n
.
En particulier 2K X + mL + G est tr` es ample pour m 2 +
3n + 1
n
.
b) 2K X + (n + 1)L + G engendre les jets simultan´ es d’ordre s 1 , . . . , s p en des
points arbitraires x 1 , . . . , x p ∈ X d` es que les nombres d’intersection L
d · Y de
L sur tous les sous-ensembles alg´ ebriques Y de X de dimension d sont tels que
L
d · Y >
2
d−1
⌊n/d⌋ d
1jp
3n + 2s j − 1
n
.
Preuve. Les d´ emonstrations de (16.4) et (16.5 a, b) sont tout ` a fait parall` eles, c’est
pourquoi nous les pr´ esenterons simultan´ ement (dans le cas de (16.4), on convient
simplement que {x 1 , . . . , x p } = ∅). L’id´ ee est de trouver un entier (ou un rationnel)
m 0 et une m´ etrique hermitienne singuli` ere h 0 sur K X + m 0 L dont le courant de
courbure est strictement positif, Θ h 0 εω, telle que V (I(h 0 )) soit de dimension 0
et telle que le poids ϕ 0 de h 0 satisfasse ν(ϕ 0 , x j ) n + s j pour tout j. Comme L
et G sont nefs, 15.18 c) implique que (m − m 0 )L + G poss` ede pour tout m m 0
une m´ etrique h
′ dont la courbure Θ h ′ a une partie n´ egative arbitrairement petite,
disons Θ h ′ −
ε
2 ω. Alors Θ h 0 + Θ h ′
ε
2 ω est positive d´ efinie. Une application du
Cor. 15.9 ` a F = K X + mL + G = (K X + m 0 L) + ((m − m 0 )L + G) muni de la
m´ etrique h 0 ⊗ h
′ garantit l’existence des sections de K X + F = 2K X + mL + G
r´ ealisant les jets d´ esir´ es pour m m 0 .
Fixons un plongement Φ |µL| : X → P
N , µ ≫ 0, donn´ e par des sections
λ 0 , . . . , λ N ∈ H
0 (X, µL), et soit h L la m´ etrique associ´ ee sur L, de forme de
courbure d´ efinie positive ω = Θ(L). Pour obtenir la m´ etrique d´ esir´ ee h 0 sur
K X + m 0 L, on fixe un entier a ∈ N
⋆ et on utilise une proc´ ed´ e de r´ ecurrence double
pour construire des m´ etriques singuli` eres (h k,ν ) ν1 sur aK X + b k L, pour une suite
d´ ecroissante (au sens large) d’entiers positifs b 1 b 2 · · · b k · · · . Une telle
suite est n´ ecessairement stationnaire et m 0 sera pr´ ecis´ ement la limite stationnaire
m 0 = lim b k /a. Les m´ etriques h k,ν sont choisies de sorte qu’elles satisfassent les
propri´ et´ es suivantes :
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dimension n. Notre d´ emonstration de (16.4) est diff´ erente et s’obtient en mˆ eme
temps que la d´ emonstration du th. (16.5) ci-dessous.
16.5. Th´ eor` eme. Soit L un fibr´ e en droites ample et soit G un fibr´ e en droites nef
sur une vari´ et´ e projective X de dimension n. On a alors les propri´ et´ es suivantes.
a) 2K X + mL + G engendre les jets simultan´ es d’ordre s 1 , . . . , s p ∈ N en des
points arbitraires x 1 , . . . , x p ∈ X, i.e., il existe une application surjective
H
0 (X, O(2K X + mL + G)) −→ −→
1jp
O(2K X + mL + G) ⊗ O X,x j /m
s j +1
X,x j
,
d` es que m 2 +
1jp
3n + 2s j − 1
n
.
En particulier 2K X + mL + G est tr` es ample pour m 2 +
3n + 1
n
.
b) 2K X + (n + 1)L + G engendre les jets simultan´ es d’ordre s 1 , . . . , s p en des
points arbitraires x 1 , . . . , x p ∈ X d` es que les nombres d’intersection L
d · Y de
L sur tous les sous-ensembles alg´ ebriques Y de X de dimension d sont tels que
L
d · Y >
2
d−1
⌊n/d⌋ d
1jp
3n + 2s j − 1
n
.
Preuve. Les d´ emonstrations de (16.4) et (16.5 a, b) sont tout ` a fait parall` eles, c’est
pourquoi nous les pr´ esenterons simultan´ ement (dans le cas de (16.4), on convient
simplement que {x 1 , . . . , x p } = ∅). L’id´ ee est de trouver un entier (ou un rationnel)
m 0 et une m´ etrique hermitienne singuli` ere h 0 sur K X + m 0 L dont le courant de
courbure est strictement positif, Θ h 0 εω, telle que V (I(h 0 )) soit de dimension 0
et telle que le poids ϕ 0 de h 0 satisfasse ν(ϕ 0 , x j ) n + s j pour tout j. Comme L
et G sont nefs, 15.18 c) implique que (m − m 0 )L + G poss` ede pour tout m m 0
une m´ etrique h
′ dont la courbure Θ h ′ a une partie n´ egative arbitrairement petite,
disons Θ h ′ −
ε
2 ω. Alors Θ h 0 + Θ h ′
ε
2 ω est positive d´ efinie. Une application du
Cor. 15.9 ` a F = K X + mL + G = (K X + m 0 L) + ((m − m 0 )L + G) muni de la
m´ etrique h 0 ⊗ h
′ garantit l’existence des sections de K X + F = 2K X + mL + G
r´ ealisant les jets d´ esir´ es pour m m 0 .
Fixons un plongement Φ |µL| : X → P
N , µ ≫ 0, donn´ e par des sections
λ 0 , . . . , λ N ∈ H
0 (X, µL), et soit h L la m´ etrique associ´ ee sur L, de forme de
courbure d´ efinie positive ω = Θ(L). Pour obtenir la m´ etrique d´ esir´ ee h 0 sur
K X + m 0 L, on fixe un entier a ∈ N
⋆ et on utilise une proc´ ed´ e de r´ ecurrence double
pour construire des m´ etriques singuli` eres (h k,ν ) ν1 sur aK X + b k L, pour une suite
d´ ecroissante (au sens large) d’entiers positifs b 1 b 2 · · · b k · · · . Une telle
suite est n´ ecessairement stationnaire et m 0 sera pr´ ecis´ ement la limite stationnaire
m 0 = lim b k /a. Les m´ etriques h k,ν sont choisies de sorte qu’elles satisfassent les
propri´ et´ es suivantes :