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J.-P. Demailly, Partie II : Estimations L 2 et th´ eor` emes d’Annulation
α) h k,ν est une m´ etrique “alg´ ebrique” de la forme
ξ
2
h k,ν
=
|τ k (ξ)|
2
1iν, 0jN
τ
(a+1)µ
k
(σ
aµ
i · λ
(a+1)b k −am i
j
)
2 1/(a+1)µ ,
d´ efinie par des sections σ i ∈ H
0
X, O((a + 1)K X + m i L)
, m i <
a+1
a
b k ,
1 i ν, o` u ξ → τ k (ξ) est une trivialisation locale arbitraire de aK X + b k L ;
notons que σ
aµ
i · λ
(a+1)b k −am i
j
est une section de
aµ((a + 1)K X + m i L) + ((a + 1)b k − am i )µL = (a + 1)µ(aK X + b k L).
β) ord x j (σ i ) (a + 1)(n + s j ) pour tout i, j ;
γ) I(h k,ν+1 ) ⊃ I(h k,ν ) et I(h k,ν+1 ) = I(h k,ν ) tant que la vari´ et´ e des z´ eros
V (I(h k,ν )) est de dimension positive.
Le poids ϕ k,ν =
1
2(a+1)µ
log
τ
(a+1)µ
k
(σ
aµ
i · λ
(a+1)b k −am i
j
)
2 de h k,ν est plurisousharmonique et la condition m i <
a+1
a
b k implique (a + 1)b k − am i 1, donc la
diff´ erence ϕ k,ν −
1
2(a+1)µ log
|τ (λ j )|
2 est aussi plurisousharmonique. Par suite
i
2π Θ h k,ν (aK X + b k L) =
i
π d
′ d
′′ ϕ k,ν
1
(a+1) ω. De plus, la condition β) implique
clairement ν(ϕ k,ν , x j ) a(n + s j ). Finalement, la condition γ) combin´ ee avec la
propri´ et´ e noeth´ erienne forte des faisceaux coh´ erents garantit que la suite (h k,ν ) ν1
va finalement produire un sous-sch´ ema V (I(h k,ν )) de dimension 0. On convient que
la suite (h k,ν ) ν1 s’arrˆ ete ` a ce point, et on note h k = h k,ν la m´ etrique finale ainsi
atteinte, telle que dim V (I(h k )) = 0.
Pour k = 1, il est clair que les m´ etriques d´ esir´ ees (h 1,ν ) ν1 existent si b 1 est
choisi assez grand (disons tel que (a + 1)K X + (b 1 − 1)L engendre les jets d’ordre
(a + 1)(n + max s j ) en tout point ; alors les sections σ 1 , . . . , σ ν peuvent ˆ etre choisie
telles que m 1 = · · · = m ν = b 1 − 1). Supposons que les m´ etriques (h k,ν ) ν1 et h k
aient d´ ej` a ´ et´ e construites et proc´ edons ` a la construction de (h k+1,ν ) ν1 . On utilise
de nouveau une r´ ecurrence sur ν, en supposant que h k+1,ν est d´ ej` a construite et
que dim V (I(h k+1,ν )) > 0. Nous commencerons en fait la r´ ecurrence par ν = 0,
et convenons dans ce cas que I(h k+1,0 ) = 0 (ceci correspondrait ` a une m´ etrique
infinie de poids identiquement ´ egal ` a −∞). Grˆ ace au th´ eor` eme d’annulation de
Nadel appliqu´ e ` a F m = aK X + mL = (aK X + b k L) + (m − b k )L pour la m´ etrique
h k ⊗ (h L )
⊗m−b k , nous obtenons
H
q (X, O((a + 1)K X + mL) ⊗ I(h k )) = 0
pour q 1, m b k .
Comme V (I(h k )) est de dimension 0, le faisceau O X /I(h k ) est un faisceau gratteciel, et la suite exacte 0 → I(h k ) → O X → O X /I(h k ) → 0 tordue par le faisceau
inversible O((a + 1)K X + mL) montre que
H
q (X, O((a + 1)K X + mL)) = 0
pour q 1, m b k .
J.-P. Demailly, Partie II : Estimations L 2 et th´ eor` emes d’Annulation
α) h k,ν est une m´ etrique “alg´ ebrique” de la forme
ξ
2
h k,ν
=
|τ k (ξ)|
2
1iν, 0jN
τ
(a+1)µ
k
(σ
aµ
i · λ
(a+1)b k −am i
j
)
2 1/(a+1)µ ,
d´ efinie par des sections σ i ∈ H
0
X, O((a + 1)K X + m i L)
, m i <
a+1
a
b k ,
1 i ν, o` u ξ → τ k (ξ) est une trivialisation locale arbitraire de aK X + b k L ;
notons que σ
aµ
i · λ
(a+1)b k −am i
j
est une section de
aµ((a + 1)K X + m i L) + ((a + 1)b k − am i )µL = (a + 1)µ(aK X + b k L).
β) ord x j (σ i ) (a + 1)(n + s j ) pour tout i, j ;
γ) I(h k,ν+1 ) ⊃ I(h k,ν ) et I(h k,ν+1 ) = I(h k,ν ) tant que la vari´ et´ e des z´ eros
V (I(h k,ν )) est de dimension positive.
Le poids ϕ k,ν =
1
2(a+1)µ
log
τ
(a+1)µ
k
(σ
aµ
i · λ
(a+1)b k −am i
j
)
2 de h k,ν est plurisousharmonique et la condition m i <
a+1
a
b k implique (a + 1)b k − am i 1, donc la
diff´ erence ϕ k,ν −
1
2(a+1)µ log
|τ (λ j )|
2 est aussi plurisousharmonique. Par suite
i
2π Θ h k,ν (aK X + b k L) =
i
π d
′ d
′′ ϕ k,ν
1
(a+1) ω. De plus, la condition β) implique
clairement ν(ϕ k,ν , x j ) a(n + s j ). Finalement, la condition γ) combin´ ee avec la
propri´ et´ e noeth´ erienne forte des faisceaux coh´ erents garantit que la suite (h k,ν ) ν1
va finalement produire un sous-sch´ ema V (I(h k,ν )) de dimension 0. On convient que
la suite (h k,ν ) ν1 s’arrˆ ete ` a ce point, et on note h k = h k,ν la m´ etrique finale ainsi
atteinte, telle que dim V (I(h k )) = 0.
Pour k = 1, il est clair que les m´ etriques d´ esir´ ees (h 1,ν ) ν1 existent si b 1 est
choisi assez grand (disons tel que (a + 1)K X + (b 1 − 1)L engendre les jets d’ordre
(a + 1)(n + max s j ) en tout point ; alors les sections σ 1 , . . . , σ ν peuvent ˆ etre choisie
telles que m 1 = · · · = m ν = b 1 − 1). Supposons que les m´ etriques (h k,ν ) ν1 et h k
aient d´ ej` a ´ et´ e construites et proc´ edons ` a la construction de (h k+1,ν ) ν1 . On utilise
de nouveau une r´ ecurrence sur ν, en supposant que h k+1,ν est d´ ej` a construite et
que dim V (I(h k+1,ν )) > 0. Nous commencerons en fait la r´ ecurrence par ν = 0,
et convenons dans ce cas que I(h k+1,0 ) = 0 (ceci correspondrait ` a une m´ etrique
infinie de poids identiquement ´ egal ` a −∞). Grˆ ace au th´ eor` eme d’annulation de
Nadel appliqu´ e ` a F m = aK X + mL = (aK X + b k L) + (m − b k )L pour la m´ etrique
h k ⊗ (h L )
⊗m−b k , nous obtenons
H
q (X, O((a + 1)K X + mL) ⊗ I(h k )) = 0
pour q 1, m b k .
Comme V (I(h k )) est de dimension 0, le faisceau O X /I(h k ) est un faisceau gratteciel, et la suite exacte 0 → I(h k ) → O X → O X /I(h k ) → 0 tordue par le faisceau
inversible O((a + 1)K X + mL) montre que
H
q (X, O((a + 1)K X + mL)) = 0
pour q 1, m b k .