16. Sur la conjecture de Fujita
99
De mani` ere analogue, nous trouvons
H
q (X, O((a + 1)K X + mL) ⊗ I(h k+1,ν )) = 0
pour q 1, m b k+1
(c’est aussi vrai pour ν = 0, puisque I(h k+1,0 ) = 0), et lorsque
m max(b k , b k+1 ) = b k ,
la suite exacte 0 → I(h k+1,ν ) → O X → O X /I(h k+1 , ν) → 0 implique
H
q (X, O((a + 1)K X + mL) ⊗ O X /I(h k+1,ν )) = 0
pour q 1, m b k .
En particulier, puisque le groupe H
1 ci-dessus s’annule, toute section u
′ de
(a + 1)K X + mL sur le sous-sch´ ema V (I(h k+1,ν )) poss` ede une extension u ` a X.
Fixons une base u
′
1 , . . . , u
′
N des sections de ce faisceau sur V (I(h k+1,ν )) et prenons
des extensions arbitraires u 1 , . . . , u N ` a X. Consid´ erons l’application lin´ eaire
attribuant ` a chaque section u sur X la collection des jets d’ordre (a +1)(n +s j ) −1
aux points x j , soit
u =
1jN
a j u j −→
J
(a+1)(n+s j )−1
x j
(u).
Puisque le rang du fibr´ e des s-jets est
n+s
n
, l’espace cible est de dimension
δ =
1jp
n + (a + 1)(n + s j ) − 1
n
.
Pour obtenir une section σ ν+1 = u satisfaisant la condition β) et ayant une
restriction non triviale σ
′
ν+1 ` a V (I(h k+1,ν )), nous avons besoin d’au moins N =
δ + 1 sections ind´ ependantes u
′
1 , . . . , u
′
N . Cette condition va ˆ etre r´ ealis´ ee en
appliquant le lemme (16.3) au polynˆ ome num´ erique
P (m) = χ(X, O((a + 1)K X + mL) ⊗ O X /I(h k+1,ν ))
= h
0 (X, O((a + 1)K X + mL) ⊗ O X /I(h k+1,ν )) 0,
m b k .
Le polynˆ ome P est de degr´ e d = dim V (I(h k+1,ν )) > 0. Nous obtenons donc
l’existence d’un entier m ∈ [b k , b k + η] tel que N = P (m) δ + 1, pour un certain
entier explicite η ∈ N (par exemple η = n(δ + 1) convient toujours d’apr` es (16.3 a),
mais il sera ´ egalement important d’utiliser les autres possibilit´ es pour optimiser les
choix). Nous trouvons alors une section σ ν+1 ∈ H
0 (X, (a + 1)K X + mL) ayant une
restriction non triviale σ
′
ν+1 ` a V (I(h k+1,ν )), s’annulant ` a un ordre (a+1)(n+s j )
en chaque point x j . On pose alors m ν+1 = m, et la condition m ν+1 <
a+1
a
b k+1 est
r´ ealis´ ee si b k + η <
a+1
a b k+1 . Ceci montre qu’on peut choisir par r´ ecurrence
b k+1 =
a
a + 1
(b k + η)
+ 1.
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De mani` ere analogue, nous trouvons
H
q (X, O((a + 1)K X + mL) ⊗ I(h k+1,ν )) = 0
pour q 1, m b k+1
(c’est aussi vrai pour ν = 0, puisque I(h k+1,0 ) = 0), et lorsque
m max(b k , b k+1 ) = b k ,
la suite exacte 0 → I(h k+1,ν ) → O X → O X /I(h k+1 , ν) → 0 implique
H
q (X, O((a + 1)K X + mL) ⊗ O X /I(h k+1,ν )) = 0
pour q 1, m b k .
En particulier, puisque le groupe H
1 ci-dessus s’annule, toute section u
′ de
(a + 1)K X + mL sur le sous-sch´ ema V (I(h k+1,ν )) poss` ede une extension u ` a X.
Fixons une base u
′
1 , . . . , u
′
N des sections de ce faisceau sur V (I(h k+1,ν )) et prenons
des extensions arbitraires u 1 , . . . , u N ` a X. Consid´ erons l’application lin´ eaire
attribuant ` a chaque section u sur X la collection des jets d’ordre (a +1)(n +s j ) −1
aux points x j , soit
u =
1jN
a j u j −→
J
(a+1)(n+s j )−1
x j
(u).
Puisque le rang du fibr´ e des s-jets est
n+s
n
, l’espace cible est de dimension
δ =
1jp
n + (a + 1)(n + s j ) − 1
n
.
Pour obtenir une section σ ν+1 = u satisfaisant la condition β) et ayant une
restriction non triviale σ
′
ν+1 ` a V (I(h k+1,ν )), nous avons besoin d’au moins N =
δ + 1 sections ind´ ependantes u
′
1 , . . . , u
′
N . Cette condition va ˆ etre r´ ealis´ ee en
appliquant le lemme (16.3) au polynˆ ome num´ erique
P (m) = χ(X, O((a + 1)K X + mL) ⊗ O X /I(h k+1,ν ))
= h
0 (X, O((a + 1)K X + mL) ⊗ O X /I(h k+1,ν )) 0,
m b k .
Le polynˆ ome P est de degr´ e d = dim V (I(h k+1,ν )) > 0. Nous obtenons donc
l’existence d’un entier m ∈ [b k , b k + η] tel que N = P (m) δ + 1, pour un certain
entier explicite η ∈ N (par exemple η = n(δ + 1) convient toujours d’apr` es (16.3 a),
mais il sera ´ egalement important d’utiliser les autres possibilit´ es pour optimiser les
choix). Nous trouvons alors une section σ ν+1 ∈ H
0 (X, (a + 1)K X + mL) ayant une
restriction non triviale σ
′
ν+1 ` a V (I(h k+1,ν )), s’annulant ` a un ordre (a+1)(n+s j )
en chaque point x j . On pose alors m ν+1 = m, et la condition m ν+1 <
a+1
a
b k+1 est
r´ ealis´ ee si b k + η <
a+1
a b k+1 . Ceci montre qu’on peut choisir par r´ ecurrence
b k+1 =
a
a + 1
(b k + η)
+ 1.