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J.-P. Demailly, Partie II : Estimations L 2 et th´ eor` emes d’Annulation
Par d´ efinition, h k+1,ν+1 h k+1,ν , donc I(h k+1,ν+1 ) ⊃ I(h k+1,ν ). On a n´ ecessairement I(h k+1,ν+1 ) = I(h k+1,ν ), car I(h k+1,ν+1 ) contient le faisceau d’id´ eaux
associ´ e au diviseur des z´ eros de σ ν+1 , alors que σ ν+1 ne s’annule pas identiquement
sur V (I(h k+1,ν )). Maintenant, un calcul facile montre que la suite it´ er´ ee b k+1 =
⌊
a
a+1 (b k + η)⌋ + 1 stationne ` a la valeur limite b k = a(η + 1) + 1, pour toute valeur
initiale b 1 sup´ erieure ` a cette limite. De cette mani` ere, on obtient une m´ etrique h ∞
` a courbure d´ efinie positive sur aK X + (a(η + 1) + 1)L, telle que dim V (I(h ∞ )) = 0
et ν(ϕ ∞ , x j ) a(n + s j ) en chaque point x j .
Preuve de (16.4). Dans ce cas, l’ensemble {x j } est pris ´ egal ` a l’ensemble vide, donc
δ = 0. Grˆ ace ` a (16.3 a), la condition P (m) 1 est r´ ealis´ ee pour au moins un entier
m ∈ [b k , b k + n], donc on peut prendre η = n. Comme µL est tr` es ample, µL
poss` ede une m´ etrique ayant un pˆ ole logarithmique isol´ e de nombre de Lelong 1 en
tout point x 0 donn´ e (par exemple, la m´ etrique alg´ ebrique d´ efinie par les sections
de µL s’annulant en x 0 ). Donc
F
′
a = aK X + (a(n + 1) + 1)L + nµL
poss` ede une m´ etrique h
′
a tel que V (I(h
′
a )) soit de dimension z´ ero et contienne {x 0 }.
Grˆ ace au Cor. (15.9), on conclut que
K X + F
′
a = (a + 1)K X + (a(n + 1) + 1 + nµ)L
est engendr´ e par ses sections, en particulier K X +
a(n+1)+1+nµ
a+1
L est nef. Lorsque
a tend vers +∞, on en d´ eduit que K X + (n + 1)L est nef.
Preuve de (16.5 a). Il suffit ici de choisir a = 1. Alors
δ =
1jp
3n + 2s j − 1
n
.
Si {x j } }
= ∅, on a δ + 1
3n−1
n
+ 1 2n
2 pour n 2. Le lemme (16.3 c)
montre que P (m) δ + 1 pour au moins un m ∈ [b k , b k + η] avec η = δ + 1. On
peut commencer la proc´ edure de r´ ecurrence k → k + 1 avec b 1 = η + 1 = δ + 2,
parce que la seule propri´ et´ e n´ ecessaire pour l’´ etape de r´ ecurrence est la propri´ et´ e
d’annulation
H
q (X, 2K X + mL) = 0
pour q 1, m b 1 ,
qui est r´ ealis´ ee d’apr` es le th´ eor` eme d’annulation de Kodaira et la propri´ et´ e
d’amplitude de K X +b 1 L (on utilise ici le r´ esultat de Fujita (16.4), en observant que
b 1 > n+1). La formule r´ ecursive b k+1 = ⌊
1
2 (b k +η)⌋+1 donne alors b k = η+1 = δ+2
pour tout k, et (16.5 a) s’ensuit.
Preuve de (16.5 b). Tout ` a fait similaire ` a (16.5 a), sauf que nous choisissons
η = n, a = 1 et b k = n + 1 pour tout k. Grˆ ace au lemme (16.3 b), nous
avons P (m) a d k
d /2
d−1 pour au moins un entier m ∈ [m 0 , m 0 + kd], o` u
J.-P. Demailly, Partie II : Estimations L 2 et th´ eor` emes d’Annulation
Par d´ efinition, h k+1,ν+1 h k+1,ν , donc I(h k+1,ν+1 ) ⊃ I(h k+1,ν ). On a n´ ecessairement I(h k+1,ν+1 ) = I(h k+1,ν ), car I(h k+1,ν+1 ) contient le faisceau d’id´ eaux
associ´ e au diviseur des z´ eros de σ ν+1 , alors que σ ν+1 ne s’annule pas identiquement
sur V (I(h k+1,ν )). Maintenant, un calcul facile montre que la suite it´ er´ ee b k+1 =
⌊
a
a+1 (b k + η)⌋ + 1 stationne ` a la valeur limite b k = a(η + 1) + 1, pour toute valeur
initiale b 1 sup´ erieure ` a cette limite. De cette mani` ere, on obtient une m´ etrique h ∞
` a courbure d´ efinie positive sur aK X + (a(η + 1) + 1)L, telle que dim V (I(h ∞ )) = 0
et ν(ϕ ∞ , x j ) a(n + s j ) en chaque point x j .
Preuve de (16.4). Dans ce cas, l’ensemble {x j } est pris ´ egal ` a l’ensemble vide, donc
δ = 0. Grˆ ace ` a (16.3 a), la condition P (m) 1 est r´ ealis´ ee pour au moins un entier
m ∈ [b k , b k + n], donc on peut prendre η = n. Comme µL est tr` es ample, µL
poss` ede une m´ etrique ayant un pˆ ole logarithmique isol´ e de nombre de Lelong 1 en
tout point x 0 donn´ e (par exemple, la m´ etrique alg´ ebrique d´ efinie par les sections
de µL s’annulant en x 0 ). Donc
F
′
a = aK X + (a(n + 1) + 1)L + nµL
poss` ede une m´ etrique h
′
a tel que V (I(h
′
a )) soit de dimension z´ ero et contienne {x 0 }.
Grˆ ace au Cor. (15.9), on conclut que
K X + F
′
a = (a + 1)K X + (a(n + 1) + 1 + nµ)L
est engendr´ e par ses sections, en particulier K X +
a(n+1)+1+nµ
a+1
L est nef. Lorsque
a tend vers +∞, on en d´ eduit que K X + (n + 1)L est nef.
Preuve de (16.5 a). Il suffit ici de choisir a = 1. Alors
δ =
1jp
3n + 2s j − 1
n
.
Si {x j } }
= ∅, on a δ + 1
3n−1
n
+ 1 2n
2 pour n 2. Le lemme (16.3 c)
montre que P (m) δ + 1 pour au moins un m ∈ [b k , b k + η] avec η = δ + 1. On
peut commencer la proc´ edure de r´ ecurrence k → k + 1 avec b 1 = η + 1 = δ + 2,
parce que la seule propri´ et´ e n´ ecessaire pour l’´ etape de r´ ecurrence est la propri´ et´ e
d’annulation
H
q (X, 2K X + mL) = 0
pour q 1, m b 1 ,
qui est r´ ealis´ ee d’apr` es le th´ eor` eme d’annulation de Kodaira et la propri´ et´ e
d’amplitude de K X +b 1 L (on utilise ici le r´ esultat de Fujita (16.4), en observant que
b 1 > n+1). La formule r´ ecursive b k+1 = ⌊
1
2 (b k +η)⌋+1 donne alors b k = η+1 = δ+2
pour tout k, et (16.5 a) s’ensuit.
Preuve de (16.5 b). Tout ` a fait similaire ` a (16.5 a), sauf que nous choisissons
η = n, a = 1 et b k = n + 1 pour tout k. Grˆ ace au lemme (16.3 b), nous
avons P (m) a d k
d /2
d−1 pour au moins un entier m ∈ [m 0 , m 0 + kd], o` u