16. Sur la conjecture de Fujita
101
a d > 0 est le coefficient de plus haut degr´ e de P . Grˆ ace au lemme (16.2), on
a a d inf dim Y =d L
d · Y . Prenons k = ⌊n/d⌋. La condition P (m) δ + 1 peut alors
ˆ etre r´ ealis´ ee pour un entier m ∈ [m 0 , m 0 + kd] ⊂ [m 0 , m 0 + n], pourvu que
inf
dim Y =d
L
d · Y ⌊n/d⌋
d /2
d−1 > δ,
ce qui est ´ equivalent ` a la condition donn´ ee en (16.5 b).
L’inconv´ enient de la technique d´ ecrite plus haut est qu’on doit n´ ecessairement
faire intervenir des multiples de L pour ´ eviter les z´ eros du polynˆ ome de Hilbert,
en particulier il n’est pas possible d’obtenir directement un crit` ere de grande
amplitude pour 2K X + L dans l’´ enonc´ e de (16.5 b). Un tel crit` ere peut n´ eanmoins
ˆ etre obtenu ` a l’aide du lemme ´ el´ ementaire suivant.
16.6. Lemme. Supposons qu’il existe un entier µ ∈ N
⋆ tel que µF engendre
simultan´ ement tous les jets d’ordre µ(n + s j ) + 1 en tout point x j d’un sousensemble {x 1 , . . . , x p } ⊂ X. Alors K X + F engendre simultan´ ement tous les jets
d’ordre s j aux points x j .
Preuve. Choisissons la m´ etrique alg´ ebrique sur F d´ efinie par une base σ 1 , . . . , σ N
de l’espace des sections de µF qui s’annuler ` a l’ordre µ(n + s j ) + 1 en tout
point x j . Puisque nous sommes encore libres de choisir le terme homog` ene de
degr´ e µ(n + s j ) + 1 dans le d´ eveloppement de Taylor de ces sections aux points x j ,
nous voyons que x 1 , . . . , x p sont des z´ eros isol´ es de
σ
−1
j (0). Si ϕ est le poids de
la m´ etrique de F pr` es de x j , nous avons donc ϕ(z) ∼ (n + s j +
1
µ ) log |z − x j | dans
des coordonn´ ees convenables. Rempla¸ cons ϕ au voisinage de x j par
ϕ
′ (z) = max
ϕ(z) , |z|
2 − C + (n + s j ) log |z − x j |
et laissons ϕ inchang´ ee partout ailleurs (c’est possible en prenant C > 0 suffisamment grand). Alors ϕ
′ (z) = |z|
2 − C + (n + s j ) log |z − x j | au voisinage de x j , en
particulier ϕ
′ est strictement plurisousharmonique pr` es de x j . De cette mani` ere,
nous obtenons une m´ etrique h
′ sur F ` a courbure semi-positive partout sur X, et ` a
courbure d´ efinie positive sur un voisinage de {x 1 , . . . , x p }. La conclusion r´ esulte
alors d’une application directe des estimations L
2 (14.2).
16.7. Th´ eor` eme. Soient X une vari´ et´ e projective de dimension n et L un
fibr´ e en droites ample sur X. Alors 2K X + L engendre simultan´ ement les jets
d’ordre s 1 , . . . , s p en des points arbitraires x 1 , . . . , x p ∈ X d` es que les nombres
d’intersection L
d · Y de L sur tous les sous-ensembles alg´ ebriques Y ⊂ X de
dimension d sont tels que
L
d · Y >
2
d−1
⌊n/d⌋ d
1jp
(n + 1)(4n + 2s j + 1) − 2
n
,
1 d n.
Preuve. Le lemme (16.6) appliqu´ e avec F = K X + L et µ = n + 1 montre que la
propri´ et´ e d´ esir´ ee pour les jets de 2K X +L a lieu si (n+1)(K X +L) engendre les jets
101
a d > 0 est le coefficient de plus haut degr´ e de P . Grˆ ace au lemme (16.2), on
a a d inf dim Y =d L
d · Y . Prenons k = ⌊n/d⌋. La condition P (m) δ + 1 peut alors
ˆ etre r´ ealis´ ee pour un entier m ∈ [m 0 , m 0 + kd] ⊂ [m 0 , m 0 + n], pourvu que
inf
dim Y =d
L
d · Y ⌊n/d⌋
d /2
d−1 > δ,
ce qui est ´ equivalent ` a la condition donn´ ee en (16.5 b).
L’inconv´ enient de la technique d´ ecrite plus haut est qu’on doit n´ ecessairement
faire intervenir des multiples de L pour ´ eviter les z´ eros du polynˆ ome de Hilbert,
en particulier il n’est pas possible d’obtenir directement un crit` ere de grande
amplitude pour 2K X + L dans l’´ enonc´ e de (16.5 b). Un tel crit` ere peut n´ eanmoins
ˆ etre obtenu ` a l’aide du lemme ´ el´ ementaire suivant.
16.6. Lemme. Supposons qu’il existe un entier µ ∈ N
⋆ tel que µF engendre
simultan´ ement tous les jets d’ordre µ(n + s j ) + 1 en tout point x j d’un sousensemble {x 1 , . . . , x p } ⊂ X. Alors K X + F engendre simultan´ ement tous les jets
d’ordre s j aux points x j .
Preuve. Choisissons la m´ etrique alg´ ebrique sur F d´ efinie par une base σ 1 , . . . , σ N
de l’espace des sections de µF qui s’annuler ` a l’ordre µ(n + s j ) + 1 en tout
point x j . Puisque nous sommes encore libres de choisir le terme homog` ene de
degr´ e µ(n + s j ) + 1 dans le d´ eveloppement de Taylor de ces sections aux points x j ,
nous voyons que x 1 , . . . , x p sont des z´ eros isol´ es de
σ
−1
j (0). Si ϕ est le poids de
la m´ etrique de F pr` es de x j , nous avons donc ϕ(z) ∼ (n + s j +
1
µ ) log |z − x j | dans
des coordonn´ ees convenables. Rempla¸ cons ϕ au voisinage de x j par
ϕ
′ (z) = max
ϕ(z) , |z|
2 − C + (n + s j ) log |z − x j |
et laissons ϕ inchang´ ee partout ailleurs (c’est possible en prenant C > 0 suffisamment grand). Alors ϕ
′ (z) = |z|
2 − C + (n + s j ) log |z − x j | au voisinage de x j , en
particulier ϕ
′ est strictement plurisousharmonique pr` es de x j . De cette mani` ere,
nous obtenons une m´ etrique h
′ sur F ` a courbure semi-positive partout sur X, et ` a
courbure d´ efinie positive sur un voisinage de {x 1 , . . . , x p }. La conclusion r´ esulte
alors d’une application directe des estimations L
2 (14.2).
16.7. Th´ eor` eme. Soient X une vari´ et´ e projective de dimension n et L un
fibr´ e en droites ample sur X. Alors 2K X + L engendre simultan´ ement les jets
d’ordre s 1 , . . . , s p en des points arbitraires x 1 , . . . , x p ∈ X d` es que les nombres
d’intersection L
d · Y de L sur tous les sous-ensembles alg´ ebriques Y ⊂ X de
dimension d sont tels que
L
d · Y >
2
d−1
⌊n/d⌋ d
1jp
(n + 1)(4n + 2s j + 1) − 2
n
,
1 d n.
Preuve. Le lemme (16.6) appliqu´ e avec F = K X + L et µ = n + 1 montre que la
propri´ et´ e d´ esir´ ee pour les jets de 2K X +L a lieu si (n+1)(K X +L) engendre les jets