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J.-P. Demailly, Partie II : Estimations L 2 et th´ eor` emes d’Annulation
d’ordre (n + 1)(n + s j ) + 1 aux points x j . Le lemme (16.6) appliqu´ e de nouveau
avec F = pK X + (n + 1)L et µ = 1 montre par r´ ecurrence descendante sur p qu’il
suffit que F engendre tous les jets d’ordre (n + 1)(n + s j ) + 1 + (n + 1 − p)(n + 1)
aux points x j . En particulier, pour 2K X + (n + 1)L il suffit d’obtenir tous les jets
d’ordre (n + 1)(2n + s j − 1) + 1. Le th. (16.5 b) donne alors la condition d´ esir´ ee.
Mentionnons pour terminer quelques cons´ equences imm´ ediates du th. 16.5,
obtenues en prenant L = ±K X .
16.8. Corollaire. Soit X une vari´ et´ e projective de type g´ en´ eral, avec K X ample
et dim X = n. Alors mK X est tr` es ample pour m m 0 =
3n+1
n
+ 4.
16.9. Corollaire. Soit X une vari´ et´ e de Fano (c’est-` a-dire une vari´ et´ e projective
telle que −K X soit ample), de dimension n. Alors −mK X est tr` es ample pour
m m 0 =
3n+1
n
.
17. Une version effective du grand th´ eor` eme de Matsusaka
Nous abordons ici le probl` eme de trouver un entier explicite m 0 tel que mL
soit tr` es ample pour m m 0 . L’existence d’une telle borne m 0 ne d´ ependant que
de la dimension et des coefficients du polynˆ ome de Hilbert de L a ´ et´ e d´ emontr´ ee
dans un premier temps par Matsusaka [Mat72], puis Koll´ ar et Matsusaka [KoM83]
ont montr´ e qu’on pouvait trouvait trouver une borne m 0 = m 0 (n, L
n , K X · L
n−1 )
d´ ependant seulement de n = dim X et des deux premiers coefficients. R´ ecemment,
Siu [Siu93] a obtenu une version effective du mˆ eme r´ esultat fournissant une borne
explicite m 0 “raisonnable” (bien que cette borne soit malheureusement encore loin
d’ˆ etre optimale). Nous nous proposons ici d’expliquer la m´ ethode de Siu, ` a partir
des simplifications et am´ eliorations sugg´ er´ ees dans [Dem96]. Le point de d´ epart
est le lemme suivant.
17.1. Lemme. Soient F et G des fibr´ es en droites nefs sur X. Si F
n > n F
n−1 · G,
tout multiple positif k(F − G) admet une section non triviale pour k k 0 assez
grand.
Preuve. Le lemme peut se d´ emontrer comme cas particulier des in´ egalit´ es de Morse
holomorphes (voir [Dem85], [Tra95], [Siu93], [Ang95]). Nous en donnons ici une
preuve simple, suivant une suggestion de F. Catanese. On peut supposer que F
et G sont tr` es amples (sinon, il suffit de remplacer F et G par F
′ = pF + A et
G
′ = pG + A avec A tr` es ample et suffisamment positif pour entraˆ ıner la grande
amplitude de toute somme avec un fibr´ e nef, puis de choisir p > 0 assez grand
pour que F
′ et G
′ satisfassent la mˆ eme hypoth` ese num´ erique que F et G). Alors
O(k(F −G)) ≃ O(kF −G 1 −· · ·−G k ) pour des ´ el´ ements arbitraires G 1 , . . . , G k du
syst` eme lin´ eaire |G|. Si on choisit de tels ´ el´ ements G j en position g´ en´ erale, le lemme
r´ esulte de la formule de Riemann-Roch appliqu´ ee au morphisme de restriction
H
0 (X, O(kF )) →
H
0 (G j , O(kF ↾G j ).
17.2. Corollaire. Soient F et G des fibr´ es en droites nefs sur X. Si F est gros et si
m > n F
n−1 · G/F
n , alors O(mF − G) peut ˆ etre muni d’une m´ etrique hermitienne
J.-P. Demailly, Partie II : Estimations L 2 et th´ eor` emes d’Annulation
d’ordre (n + 1)(n + s j ) + 1 aux points x j . Le lemme (16.6) appliqu´ e de nouveau
avec F = pK X + (n + 1)L et µ = 1 montre par r´ ecurrence descendante sur p qu’il
suffit que F engendre tous les jets d’ordre (n + 1)(n + s j ) + 1 + (n + 1 − p)(n + 1)
aux points x j . En particulier, pour 2K X + (n + 1)L il suffit d’obtenir tous les jets
d’ordre (n + 1)(2n + s j − 1) + 1. Le th. (16.5 b) donne alors la condition d´ esir´ ee.
Mentionnons pour terminer quelques cons´ equences imm´ ediates du th. 16.5,
obtenues en prenant L = ±K X .
16.8. Corollaire. Soit X une vari´ et´ e projective de type g´ en´ eral, avec K X ample
et dim X = n. Alors mK X est tr` es ample pour m m 0 =
3n+1
n
+ 4.
16.9. Corollaire. Soit X une vari´ et´ e de Fano (c’est-` a-dire une vari´ et´ e projective
telle que −K X soit ample), de dimension n. Alors −mK X est tr` es ample pour
m m 0 =
3n+1
n
.
17. Une version effective du grand th´ eor` eme de Matsusaka
Nous abordons ici le probl` eme de trouver un entier explicite m 0 tel que mL
soit tr` es ample pour m m 0 . L’existence d’une telle borne m 0 ne d´ ependant que
de la dimension et des coefficients du polynˆ ome de Hilbert de L a ´ et´ e d´ emontr´ ee
dans un premier temps par Matsusaka [Mat72], puis Koll´ ar et Matsusaka [KoM83]
ont montr´ e qu’on pouvait trouvait trouver une borne m 0 = m 0 (n, L
n , K X · L
n−1 )
d´ ependant seulement de n = dim X et des deux premiers coefficients. R´ ecemment,
Siu [Siu93] a obtenu une version effective du mˆ eme r´ esultat fournissant une borne
explicite m 0 “raisonnable” (bien que cette borne soit malheureusement encore loin
d’ˆ etre optimale). Nous nous proposons ici d’expliquer la m´ ethode de Siu, ` a partir
des simplifications et am´ eliorations sugg´ er´ ees dans [Dem96]. Le point de d´ epart
est le lemme suivant.
17.1. Lemme. Soient F et G des fibr´ es en droites nefs sur X. Si F
n > n F
n−1 · G,
tout multiple positif k(F − G) admet une section non triviale pour k k 0 assez
grand.
Preuve. Le lemme peut se d´ emontrer comme cas particulier des in´ egalit´ es de Morse
holomorphes (voir [Dem85], [Tra95], [Siu93], [Ang95]). Nous en donnons ici une
preuve simple, suivant une suggestion de F. Catanese. On peut supposer que F
et G sont tr` es amples (sinon, il suffit de remplacer F et G par F
′ = pF + A et
G
′ = pG + A avec A tr` es ample et suffisamment positif pour entraˆ ıner la grande
amplitude de toute somme avec un fibr´ e nef, puis de choisir p > 0 assez grand
pour que F
′ et G
′ satisfassent la mˆ eme hypoth` ese num´ erique que F et G). Alors
O(k(F −G)) ≃ O(kF −G 1 −· · ·−G k ) pour des ´ el´ ements arbitraires G 1 , . . . , G k du
syst` eme lin´ eaire |G|. Si on choisit de tels ´ el´ ements G j en position g´ en´ erale, le lemme
r´ esulte de la formule de Riemann-Roch appliqu´ ee au morphisme de restriction
H
0 (X, O(kF )) →
H
0 (G j , O(kF ↾G j ).
17.2. Corollaire. Soient F et G des fibr´ es en droites nefs sur X. Si F est gros et si
m > n F
n−1 · G/F
n , alors O(mF − G) peut ˆ etre muni d’une m´ etrique hermitienne