17. Une version effective du grand th´ eor` eme de Matsusaka
103
h (peut ˆ etre singuli` ere), ayant une forme courbure d´ efinie positive, i.e. telle que
Θ h (mF − G) εω, ε > 0, pour une m´ etrique k¨ ahl´ erienne ω.
Preuve. En fait, si A est ample et ε ∈ Q + est assez petit, le lemme (17.1) implique
qu’un certain multiple k(mF − G − εA) admet une section. Soit E le diviseur de
cette section et soit ω = Θ(A) ∈ c 1 (A) une m´ etrique k¨ ahl´ erienne repr´ esentant la
forme de courbure de A. Alors mF − G ≡ εA +
1
k E peut ˆ etre muni d’une m´ etrique
singuli` ere h de forme de courbure Θ h (mF − G) = εΘ(A) +
1
k
[E] εω.
Nous consid´ erons maintenant le probl` eme d’obtenir une section non triviale de
mL. L’id´ ee de [Siu93] est d’obtenir plus g´ en´ eralement un crit` ere pour l’amplitude
de mL − B quand B est nef. De cette mani` ere, on pourra soustraire de mL tout
multiple non d´ esir´ e de K X qui se trouverait sinon ajout´ e ` a L par application du
th´ eor` eme d’annulation de Nadel (pour cela, on remplace simplement B par B plus
un multiple de K X + (n + 1)L).
17.3. Proposition. Soit L un fibr´ e en droite ample sur une vari´ et´ e X projective
de dimension n, et soit B un fibr´ e en droites nef sur X. Alors K X + mL − B admet
une section non nulle pour un entier m tel que
m n
L
n−1 · B
L n
+ n + 1.
Preuve. Soit m 0 le plus petit entier > n
L
n−1 ·B
L n . Alors m 0 L − B peut ˆ etre ´ equip´ e
d’une m´ etrique hermitienne singuli` ere h de courbure d´ efinie positive. Grˆ ace au
th´ eor` eme d’annulation de Nadel, on obtient
H
q (X, O(K X + mL − B) ⊗ I(h)) = 0
for q 1,
donc P (m) = h
0 (X, O(K X + mL − B) ⊗ I(h)) est un polynˆ ome pour m m 0 .
Puisque P est un polynˆ ome de degr´ e n qui n’est pas identiquement nul, il existe
un entier m ∈ [m 0 , m 0 + n] qui n’en est pas racine. Donc il existe une section non
triviale de
H
0 (X, O(K X + mL − B)) ⊃ H
0 (X, O(K X + mL − B) ⊗ I(h))
pour un certain m ∈ [m 0 , m 0 + n], comme annonc´ e.
17.4. Corollaire. Si L est ample et B est nef, mL − B poss` ede une section non
nulle pour au moins un entier
m n
L
n−1 · B + L
n−1 · K X
L n
+ n + 1
.
Preuve. D’apr` es le r´ esultat de Fujita (16.4), K X + (n + 1)L est nef. Nous pouvons
donc remplacer B par B + K X + (n + 1)L dans le r´ esultat de la prop. (17.3). Le
corollaire (17.4) s’ensuit.
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h (peut ˆ etre singuli` ere), ayant une forme courbure d´ efinie positive, i.e. telle que
Θ h (mF − G) εω, ε > 0, pour une m´ etrique k¨ ahl´ erienne ω.
Preuve. En fait, si A est ample et ε ∈ Q + est assez petit, le lemme (17.1) implique
qu’un certain multiple k(mF − G − εA) admet une section. Soit E le diviseur de
cette section et soit ω = Θ(A) ∈ c 1 (A) une m´ etrique k¨ ahl´ erienne repr´ esentant la
forme de courbure de A. Alors mF − G ≡ εA +
1
k E peut ˆ etre muni d’une m´ etrique
singuli` ere h de forme de courbure Θ h (mF − G) = εΘ(A) +
1
k
[E] εω.
Nous consid´ erons maintenant le probl` eme d’obtenir une section non triviale de
mL. L’id´ ee de [Siu93] est d’obtenir plus g´ en´ eralement un crit` ere pour l’amplitude
de mL − B quand B est nef. De cette mani` ere, on pourra soustraire de mL tout
multiple non d´ esir´ e de K X qui se trouverait sinon ajout´ e ` a L par application du
th´ eor` eme d’annulation de Nadel (pour cela, on remplace simplement B par B plus
un multiple de K X + (n + 1)L).
17.3. Proposition. Soit L un fibr´ e en droite ample sur une vari´ et´ e X projective
de dimension n, et soit B un fibr´ e en droites nef sur X. Alors K X + mL − B admet
une section non nulle pour un entier m tel que
m n
L
n−1 · B
L n
+ n + 1.
Preuve. Soit m 0 le plus petit entier > n
L
n−1 ·B
L n . Alors m 0 L − B peut ˆ etre ´ equip´ e
d’une m´ etrique hermitienne singuli` ere h de courbure d´ efinie positive. Grˆ ace au
th´ eor` eme d’annulation de Nadel, on obtient
H
q (X, O(K X + mL − B) ⊗ I(h)) = 0
for q 1,
donc P (m) = h
0 (X, O(K X + mL − B) ⊗ I(h)) est un polynˆ ome pour m m 0 .
Puisque P est un polynˆ ome de degr´ e n qui n’est pas identiquement nul, il existe
un entier m ∈ [m 0 , m 0 + n] qui n’en est pas racine. Donc il existe une section non
triviale de
H
0 (X, O(K X + mL − B)) ⊃ H
0 (X, O(K X + mL − B) ⊗ I(h))
pour un certain m ∈ [m 0 , m 0 + n], comme annonc´ e.
17.4. Corollaire. Si L est ample et B est nef, mL − B poss` ede une section non
nulle pour au moins un entier
m n
L
n−1 · B + L
n−1 · K X
L n
+ n + 1
.
Preuve. D’apr` es le r´ esultat de Fujita (16.4), K X + (n + 1)L est nef. Nous pouvons
donc remplacer B par B + K X + (n + 1)L dans le r´ esultat de la prop. (17.3). Le
corollaire (17.4) s’ensuit.