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J.-P. Demailly, Partie II : Estimations L 2 et th´ eor` emes d’Annulation
17.5. Remarque. Nous ne savons pas si la borne obtenue dans le corollaire
ci-dessus est optimale, mais elle n’est certainement pas tr` es loin de l’ˆ etre. En
effet, mˆ eme pour B = 0, le facteur multiplicatif n ne peut ˆ etre remplac´ ee
par un nombre plus petit que n/2 : pour le voir, prenons par exemple pour
X un produit C 1 × · · · × C n de courbes C j de genre g j assez grand, et L =
O(a 1 [p 1 ]) ⊗ · · · ⊗ O(a n [p n ]), B = 0. Notre condition suffisante pour que |mL| |
= ∅
devient dans ce cas m
(2g j − 2)/a j + n(n + 1), tandis que pour un choix
g´ en´ erique des p j le fibr´ e mL n’admet de sections que si ma j g j pour tout j.
L’impr´ ecision de notre in´ egalit´ e joue donc au plus sur un facteur multiplicatif 2
quand a 1 = · · · = a n = 1 et g 1 ≫ g 2 ≫ · · · ≫ g n → +∞. D’autre part, la
constante additive n + 1 est d´ ej` a la meilleure possible lorsque B = 0 et X = P
n .
Jusqu’` a ce point, la m´ ethode n’´ etait pas r´ eellement sensible ` a la pr´ esence de
singularit´ es (le lemme (17.1) est encore vrai dans le cas singulier comme on le
voit ais´ ement en utilisant une d´ esingularisation de X). De mˆ eme, comme on l’a
observ´ e ` a la remarque (15.16), le th´ eor` eme d’annulation de Nadel reste encore
essentiellement valable. La prop. (17.3) peut alors ˆ etre g´ en´ eralis´ ee comme suit :
17.6. Proposition. Soit L un fibr´ e en droites ample sur une vari´ et´ e X projective
de dimension n, et soit B un fibr´ e en droites nef sur X. Pour tout sous-vari´ et´ e
alg´ ebrique (r´ eduite) Y de X de dimension p, il existe un entier
m p
L
p−1 · B · Y
L p · Y
+ p + 1
tel que le faisceau ω Y ⊗ O Y (mL − B) ait une section non nulle.
Grˆ ace ` a un proc´ ed´ e de r´ ecurrence ad´ equat reposant sur les r´ esultats ci-dessus,
nous pouvons maintenant am´ eliorer la borne effective obtenue par Siu [Siu93] pour
le grand th´ eor` eme de Matsusaka. Notre ´ enonc´ e d´ ependra du choix d’une constante
λ n telle que m(K X + (n + 2)L) + G est tr` es ample pour m λ n et tout fibr´ e en
droites nef G. Le th´ eor` eme (0.2 c) montre que λ n
3n+1
n
− 2n (un argument plus
´ elabor´ e mettant en jeu les r´ esultats r´ ecents de Angehrn-Siu [AS94] permet en fait
de voir que λ n n
3 − n
2 − n − 1 pour n 2). Bien entendu, on s’attend ` a ce que
λ n = 1 pour tout n, si on veut bien croire ` a la conjecture de Fujita.
17.7. Version effective du grand th´ eor` eme de Matsusaka. Soient L et B
des fibr´ es en droites nefs sur une vari´ et´ e X projective de dimension n. Supposons
que L soit ample et soit H = λ n (K X + (n + 2)L). Alors mL − B est tr` es ample
pour
m (2n)
(3
n−1 −1)/2 (L
n−1 · (B + H))
(3
n−1 +1)/2 (L
n−1 · H)
3
n−2 (n/2−3/4)−1/4
(L n ) 3 n−2 (n/2−1/4)+1/4
.
En particulier mL est tr` es ample pour
m C n (L
n )
3
n−2
n + 2 +
L
n−1 · K X
L n
3
n−2 (n/2+3/4)+1/4
J.-P. Demailly, Partie II : Estimations L 2 et th´ eor` emes d’Annulation
17.5. Remarque. Nous ne savons pas si la borne obtenue dans le corollaire
ci-dessus est optimale, mais elle n’est certainement pas tr` es loin de l’ˆ etre. En
effet, mˆ eme pour B = 0, le facteur multiplicatif n ne peut ˆ etre remplac´ ee
par un nombre plus petit que n/2 : pour le voir, prenons par exemple pour
X un produit C 1 × · · · × C n de courbes C j de genre g j assez grand, et L =
O(a 1 [p 1 ]) ⊗ · · · ⊗ O(a n [p n ]), B = 0. Notre condition suffisante pour que |mL| |
= ∅
devient dans ce cas m
(2g j − 2)/a j + n(n + 1), tandis que pour un choix
g´ en´ erique des p j le fibr´ e mL n’admet de sections que si ma j g j pour tout j.
L’impr´ ecision de notre in´ egalit´ e joue donc au plus sur un facteur multiplicatif 2
quand a 1 = · · · = a n = 1 et g 1 ≫ g 2 ≫ · · · ≫ g n → +∞. D’autre part, la
constante additive n + 1 est d´ ej` a la meilleure possible lorsque B = 0 et X = P
n .
Jusqu’` a ce point, la m´ ethode n’´ etait pas r´ eellement sensible ` a la pr´ esence de
singularit´ es (le lemme (17.1) est encore vrai dans le cas singulier comme on le
voit ais´ ement en utilisant une d´ esingularisation de X). De mˆ eme, comme on l’a
observ´ e ` a la remarque (15.16), le th´ eor` eme d’annulation de Nadel reste encore
essentiellement valable. La prop. (17.3) peut alors ˆ etre g´ en´ eralis´ ee comme suit :
17.6. Proposition. Soit L un fibr´ e en droites ample sur une vari´ et´ e X projective
de dimension n, et soit B un fibr´ e en droites nef sur X. Pour tout sous-vari´ et´ e
alg´ ebrique (r´ eduite) Y de X de dimension p, il existe un entier
m p
L
p−1 · B · Y
L p · Y
+ p + 1
tel que le faisceau ω Y ⊗ O Y (mL − B) ait une section non nulle.
Grˆ ace ` a un proc´ ed´ e de r´ ecurrence ad´ equat reposant sur les r´ esultats ci-dessus,
nous pouvons maintenant am´ eliorer la borne effective obtenue par Siu [Siu93] pour
le grand th´ eor` eme de Matsusaka. Notre ´ enonc´ e d´ ependra du choix d’une constante
λ n telle que m(K X + (n + 2)L) + G est tr` es ample pour m λ n et tout fibr´ e en
droites nef G. Le th´ eor` eme (0.2 c) montre que λ n
3n+1
n
− 2n (un argument plus
´ elabor´ e mettant en jeu les r´ esultats r´ ecents de Angehrn-Siu [AS94] permet en fait
de voir que λ n n
3 − n
2 − n − 1 pour n 2). Bien entendu, on s’attend ` a ce que
λ n = 1 pour tout n, si on veut bien croire ` a la conjecture de Fujita.
17.7. Version effective du grand th´ eor` eme de Matsusaka. Soient L et B
des fibr´ es en droites nefs sur une vari´ et´ e X projective de dimension n. Supposons
que L soit ample et soit H = λ n (K X + (n + 2)L). Alors mL − B est tr` es ample
pour
m (2n)
(3
n−1 −1)/2 (L
n−1 · (B + H))
(3
n−1 +1)/2 (L
n−1 · H)
3
n−2 (n/2−3/4)−1/4
(L n ) 3 n−2 (n/2−1/4)+1/4
.
En particulier mL est tr` es ample pour
m C n (L
n )
3
n−2
n + 2 +
L
n−1 · K X
L n
3
n−2 (n/2+3/4)+1/4