17. Une version effective du grand th´ eor` eme de Matsusaka
105
avec C n = (2n)
(3
n−1 −1)/2 (λ n )
3
n−2 (n/2+3/4)+1/4 .
Preuve. Nous utilisons le th. (3.1) et la prop. (17.6) pour construire par r´ ecurrence
une suite de sous-vari´ et´ es alg´ ebriques (non n´ ecessairement irr´ eductibles) X = Y n ⊃
Y n−1 ⊃ · · · ⊃ Y 2 ⊃ Y 1 telle que Y p =
j Y p,j est de dimension p, Y p−1 ´ etant obtenu
pour chaque p 2 comme la r´ eunion des ensembles de z´ eros des sections
σ p,j ∈ H
0 (Y p,j , O Y p,j (m p,j L − B))
pour des entiers convenables m p,j 1. Nous proc´ edons par r´ ecurrence sur les
valeurs d´ ecroissantes de la dimension p, et cherchons ` a obtenir ` a chaque pas une
borne sup´ erieure m p pour les entiers m p,j .
Grˆ ace au Cor. (17.4), on peut trouver un entier m n tel que que m n L − B
admettte une section σ n non triviale pour
m n n
L
n−1 · (B + K X + (n + 1)L)
L n
n
L
n−1 · (B + H)
L n
.
Maintenant supposons que les sections σ n , . . ., σ p+1,j aient d´ ej` a ´ et´ e construites. On
obtient alors par r´ ecurrence un p-cycle
Y p =
µ p,j Y p,j d´ efini par
Y p = somme des
diviseurs des z´ eros des sections σ p+1,j sur les composantes
Y p+1,j , o` u la multiplicit´ e
µ p,j de Y p,j ⊂ Y p+1,k est obtenue en multipliant la multiplicit´ e correspondante
µ p+1,k par l’ordre d’annulation de σ p+1,k le long de Y p,j . On obtient l’´ egalit´ e de
classes de cohomologie
Y p ≡
(m p+1,k L − B) · (µ p+1,k Y p+1,k ) m p+1 L ·
Y p+1 .
Par r´ ecurrence, nous obtenons alors l’in´ egalit´ e num´ erique
Y p m p+1 · · · m n L
n−p .
Maintenant, pour chaque composante Y p,j , la prop. (17.6) montre qu’il existe une
section de ω Y p,j ⊗ O Y p,j (m p,j L − B) pour un certain entier
m p,j p
L
p−1 · B · Y p,j
L p · Y p,j
+ p + 1 pm p+1 · · · m n L
n−1 · B + p + 1.
Nous avons utilis´ e ici la minoration ´ evidente L
p−1 · Y p,j 1 (cette minoration est
d’ailleurs sans doute un des points faibles de la m´ ethode. . .). Le degr´ e de Y p,j par
rapport ` a H admet la majoration
δ p,j := H
p · Y p,j m p+1 · · · m n H
p · L
n−p .
L’in´ egalit´ e de concavit´ e de Hovanski-Teissier donne
(L
n−p · H
p )
1
p (L
n )
1−
1
p L
n−1 · H
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avec C n = (2n)
(3
n−1 −1)/2 (λ n )
3
n−2 (n/2+3/4)+1/4 .
Preuve. Nous utilisons le th. (3.1) et la prop. (17.6) pour construire par r´ ecurrence
une suite de sous-vari´ et´ es alg´ ebriques (non n´ ecessairement irr´ eductibles) X = Y n ⊃
Y n−1 ⊃ · · · ⊃ Y 2 ⊃ Y 1 telle que Y p =
j Y p,j est de dimension p, Y p−1 ´ etant obtenu
pour chaque p 2 comme la r´ eunion des ensembles de z´ eros des sections
σ p,j ∈ H
0 (Y p,j , O Y p,j (m p,j L − B))
pour des entiers convenables m p,j 1. Nous proc´ edons par r´ ecurrence sur les
valeurs d´ ecroissantes de la dimension p, et cherchons ` a obtenir ` a chaque pas une
borne sup´ erieure m p pour les entiers m p,j .
Grˆ ace au Cor. (17.4), on peut trouver un entier m n tel que que m n L − B
admettte une section σ n non triviale pour
m n n
L
n−1 · (B + K X + (n + 1)L)
L n
n
L
n−1 · (B + H)
L n
.
Maintenant supposons que les sections σ n , . . ., σ p+1,j aient d´ ej` a ´ et´ e construites. On
obtient alors par r´ ecurrence un p-cycle
Y p =
µ p,j Y p,j d´ efini par
Y p = somme des
diviseurs des z´ eros des sections σ p+1,j sur les composantes
Y p+1,j , o` u la multiplicit´ e
µ p,j de Y p,j ⊂ Y p+1,k est obtenue en multipliant la multiplicit´ e correspondante
µ p+1,k par l’ordre d’annulation de σ p+1,k le long de Y p,j . On obtient l’´ egalit´ e de
classes de cohomologie
Y p ≡
(m p+1,k L − B) · (µ p+1,k Y p+1,k ) m p+1 L ·
Y p+1 .
Par r´ ecurrence, nous obtenons alors l’in´ egalit´ e num´ erique
Y p m p+1 · · · m n L
n−p .
Maintenant, pour chaque composante Y p,j , la prop. (17.6) montre qu’il existe une
section de ω Y p,j ⊗ O Y p,j (m p,j L − B) pour un certain entier
m p,j p
L
p−1 · B · Y p,j
L p · Y p,j
+ p + 1 pm p+1 · · · m n L
n−1 · B + p + 1.
Nous avons utilis´ e ici la minoration ´ evidente L
p−1 · Y p,j 1 (cette minoration est
d’ailleurs sans doute un des points faibles de la m´ ethode. . .). Le degr´ e de Y p,j par
rapport ` a H admet la majoration
δ p,j := H
p · Y p,j m p+1 · · · m n H
p · L
n−p .
L’in´ egalit´ e de concavit´ e de Hovanski-Teissier donne
(L
n−p · H
p )
1
p (L
n )
1−
1
p L
n−1 · H