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J.-P. Demailly, Partie II : Estimations L 2 et th´ eor` emes d’Annulation
([Hov79], [Tei79, 82], voir aussi [Dem93]), ce qui permet d’exprimer nos bornes en
termes des seuls nombres d’intersection L
n et L
n−1 · H. On obtient alors
δ p,j m p+1 · · · m n
(L
n−1 · H)
p
(L n ) p−1 .
Nous avons besoin du lemme suivant, qui sera d´ emontr´ e ult´ erieurement.
17.8. Lemme. Soit H un fibr´ e en droites tr` es ample sur une vari´ et´ e alg´ ebrique
projective X, et soit Y ⊂ X une sous-vari´ et´ e alg´ ebrique irr´ eductible de dimension p. Si δ = H
p · Y est le degr´ e de Y par rapport ` a H, le faisceau
Hom
ω Y , O Y ((δ − p − 2)H)
poss` ede une section non triviale.
Grˆ ace au lemme (17.8), il existe une section non triviale de
Hom
ω Y p,j , O Y p,j ((δ p,j − p − 2)H)
.
En combinant cette section avec la section de ω Y p,j ⊗ O Y p,j (m p,j L − B) d´ ej` a construite, nous obtenons une section de O Y p,j (m p,j L − B + (δ p,j − p − 2)H) sur Y p,j .
On ne veut pas que H apparaisse ` a ce niveau, c’est pourquoi on va remplacer B
par B + (δ p,j − p − 2)H. On obtient alors une section σ p,j de O Y p,j (m p,j L − B)
pour un certain entier m p,j tel que
m p,j pm p+1 · · · m n L
n−1 · (B + (δ p,j − p − 2)H) + p + 1
p m p+1 · · · m n δ p,j L
n−1 · (B + H)
p (m p+1 · · · m n )
2 (L
n−1 · H)
p
(L n ) p−1 L
n−1 · (B + H).
Par cons´ equent, en posant M = n L
n−1 · (B + H), on obtient la relation de
r´ ecurrence descendante
m p M
(L
n−1 · H)
p
(L n ) p−1 (m p+1 · · · m n )
2
pour 2 p n − 1,
partant de la valeur initiale m n M/L
n . Soient (m p ) la suite des nombre obtenus
par cette formule de r´ ecurrence en rempla¸ cant les in´ egalit´ es par des ´ egalit´ es. Il
vient m p m p avec m n−1 = M
3 (L
n−1 · H)
n−1 /(L
n )
n et
m p =
L
n
L n−1 · H
m
2
p+1 m p+1
pour 2 p n − 2. On trouve alors par r´ ecurrence
m p m p = M
3
n−p (L
n−1 · H)
3
n−p−1 (n−3/2)+1/2
(L n ) 3 n−p−1 (n−1/2)+1/2 .
J.-P. Demailly, Partie II : Estimations L 2 et th´ eor` emes d’Annulation
([Hov79], [Tei79, 82], voir aussi [Dem93]), ce qui permet d’exprimer nos bornes en
termes des seuls nombres d’intersection L
n et L
n−1 · H. On obtient alors
δ p,j m p+1 · · · m n
(L
n−1 · H)
p
(L n ) p−1 .
Nous avons besoin du lemme suivant, qui sera d´ emontr´ e ult´ erieurement.
17.8. Lemme. Soit H un fibr´ e en droites tr` es ample sur une vari´ et´ e alg´ ebrique
projective X, et soit Y ⊂ X une sous-vari´ et´ e alg´ ebrique irr´ eductible de dimension p. Si δ = H
p · Y est le degr´ e de Y par rapport ` a H, le faisceau
Hom
ω Y , O Y ((δ − p − 2)H)
poss` ede une section non triviale.
Grˆ ace au lemme (17.8), il existe une section non triviale de
Hom
ω Y p,j , O Y p,j ((δ p,j − p − 2)H)
.
En combinant cette section avec la section de ω Y p,j ⊗ O Y p,j (m p,j L − B) d´ ej` a construite, nous obtenons une section de O Y p,j (m p,j L − B + (δ p,j − p − 2)H) sur Y p,j .
On ne veut pas que H apparaisse ` a ce niveau, c’est pourquoi on va remplacer B
par B + (δ p,j − p − 2)H. On obtient alors une section σ p,j de O Y p,j (m p,j L − B)
pour un certain entier m p,j tel que
m p,j pm p+1 · · · m n L
n−1 · (B + (δ p,j − p − 2)H) + p + 1
p m p+1 · · · m n δ p,j L
n−1 · (B + H)
p (m p+1 · · · m n )
2 (L
n−1 · H)
p
(L n ) p−1 L
n−1 · (B + H).
Par cons´ equent, en posant M = n L
n−1 · (B + H), on obtient la relation de
r´ ecurrence descendante
m p M
(L
n−1 · H)
p
(L n ) p−1 (m p+1 · · · m n )
2
pour 2 p n − 1,
partant de la valeur initiale m n M/L
n . Soient (m p ) la suite des nombre obtenus
par cette formule de r´ ecurrence en rempla¸ cant les in´ egalit´ es par des ´ egalit´ es. Il
vient m p m p avec m n−1 = M
3 (L
n−1 · H)
n−1 /(L
n )
n et
m p =
L
n
L n−1 · H
m
2
p+1 m p+1
pour 2 p n − 2. On trouve alors par r´ ecurrence
m p m p = M
3
n−p (L
n−1 · H)
3
n−p−1 (n−3/2)+1/2
(L n ) 3 n−p−1 (n−1/2)+1/2 .