17. Une version effective du grand th´ eor` eme de Matsusaka
107
Montrons maintenant que m 0 L − B est nef pour
m 0 = max
m 2 , m 3 , . . . , m n , m 2 · · · m n L
n−1 · B
.
En effet, soit C ⊂ X une courbe irr´ eductible arbitraire. Ou bien C = Y 1,j pour
un certain j, ou bien il existe un entier p = 2, . . . , n tel que C soit contenu dans
Y p Y p−1 . Si C ⊂ Y p,j Y p−1 , alors σ p,j ne s’annule pas identiquement sur C.
Donc (m p,j L − B) ↾C est de degr´ e positif ou nul et
(m 0 L − B) · C (m p,j L − B) · C 0.
D’autre part, si C = Y 1,j , alors
(m 0 L − B) · C m 0 − B ·
Y 1 m 0 − m 2 · · · m n L
n−1 · B 0.
D’apr` es la d´ efinition de λ n (et la preuve qu’une telle constante existe, cf. (0.2c)),
H + G est tr` es ample pour tout fibr´ e en droites nef G, en particulier H + m 0 L − B
est tr` es ample. On remplace de nouveau B par B + H. Cette substitution a pour
effet de remplacer M par la nouvelle constante M = n
L
n−1 · (B + 2H)
et m 0
par
m 0 = max
m n , m n−1 , . . . , m 2 , m 2 · · · m n L
n−1 · (B + H)
.
Le dernier terme ´ etant le plus grand, l’estimation de m p implique
m 0 M
(3
n−1 −1)/2 (L
n−1 · H)
(3
n−2 −1)(n−3/2)/2+(n−2)/2 (L
n−1 · (B + H))
(L n ) (3 n−2 −1)(n−1/2)/2+(n−2)/2+1
(2n)
(3
n−1 −1)/2 (L
n−1 · (B + H))
(3
n−1 +1)/2 (L
n−1 · H)
3
n−2 (n/2−3/4)−1/4
(L n ) 3 n−2 (n/2−1/4)+1/4
Preuve du lemme (17.8). Soit X ⊂ P
N le plongement donn´ e par H, de sorte que
H = O X (1). Il existe une projection lin´ eaire P
n
≻ P
p+1 dont la restriction
π : Y → P
p+1 ` a Y est un morphisme fini et birationnel de Y sur une hypersurface
alg´ ebrique Y
′ de degr´ e δ dans P
p+1 . Soit s ∈ H
0 (P
p+1 , O(δ)) le polynˆ ome de
degr´ e δ d´ efinissant Y
′ . Nous affirmons que pour tout petit ouvert de Stein
W ⊂ P
p+1 et toute p-forme holomorphe L
2 u sur Y
′ ∩ W , il existe une (p + 1)forme holomorphe L
2
u sur W , ` a valeurs dans O(δ), telle que
u ↾Y ′ ∩W = u ∧ ds.
En fait, c’est pr´ ecis´ ement lae conclusion du th´ eor` eme d’extension L
2 d’OhsawaTakegoshi [OT87], [Ohs88] (voir aussi [Man93] pour une version plus g´ en´ erale de
ce r´ esultat) ; on peut ´ egalement invoquer des arguments standards d’alg` ebre locale
(voir Hartshorne [Har77], th. III-7.11). Comme K P p+1 = O(−p−2), la forme
u peut
ˆ etre consid´ er´ ee comme une section de O(δ−p−2) sur W , par suite le morphisme de
faisceaux u → u ∧ ds s’´ etend en une section globale de Hom
ω Y ′ , O Y ′ (δ − p − 2)
.
L’image inverse par π
⋆ fournit une section de Hom
π
⋆ ω Y ′ , O Y ((δ − p − 2)H)
.
107
Montrons maintenant que m 0 L − B est nef pour
m 0 = max
m 2 , m 3 , . . . , m n , m 2 · · · m n L
n−1 · B
.
En effet, soit C ⊂ X une courbe irr´ eductible arbitraire. Ou bien C = Y 1,j pour
un certain j, ou bien il existe un entier p = 2, . . . , n tel que C soit contenu dans
Y p Y p−1 . Si C ⊂ Y p,j Y p−1 , alors σ p,j ne s’annule pas identiquement sur C.
Donc (m p,j L − B) ↾C est de degr´ e positif ou nul et
(m 0 L − B) · C (m p,j L − B) · C 0.
D’autre part, si C = Y 1,j , alors
(m 0 L − B) · C m 0 − B ·
Y 1 m 0 − m 2 · · · m n L
n−1 · B 0.
D’apr` es la d´ efinition de λ n (et la preuve qu’une telle constante existe, cf. (0.2c)),
H + G est tr` es ample pour tout fibr´ e en droites nef G, en particulier H + m 0 L − B
est tr` es ample. On remplace de nouveau B par B + H. Cette substitution a pour
effet de remplacer M par la nouvelle constante M = n
L
n−1 · (B + 2H)
et m 0
par
m 0 = max
m n , m n−1 , . . . , m 2 , m 2 · · · m n L
n−1 · (B + H)
.
Le dernier terme ´ etant le plus grand, l’estimation de m p implique
m 0 M
(3
n−1 −1)/2 (L
n−1 · H)
(3
n−2 −1)(n−3/2)/2+(n−2)/2 (L
n−1 · (B + H))
(L n ) (3 n−2 −1)(n−1/2)/2+(n−2)/2+1
(2n)
(3
n−1 −1)/2 (L
n−1 · (B + H))
(3
n−1 +1)/2 (L
n−1 · H)
3
n−2 (n/2−3/4)−1/4
(L n ) 3 n−2 (n/2−1/4)+1/4
Preuve du lemme (17.8). Soit X ⊂ P
N le plongement donn´ e par H, de sorte que
H = O X (1). Il existe une projection lin´ eaire P
n
≻ P
p+1 dont la restriction
π : Y → P
p+1 ` a Y est un morphisme fini et birationnel de Y sur une hypersurface
alg´ ebrique Y
′ de degr´ e δ dans P
p+1 . Soit s ∈ H
0 (P
p+1 , O(δ)) le polynˆ ome de
degr´ e δ d´ efinissant Y
′ . Nous affirmons que pour tout petit ouvert de Stein
W ⊂ P
p+1 et toute p-forme holomorphe L
2 u sur Y
′ ∩ W , il existe une (p + 1)forme holomorphe L
2
u sur W , ` a valeurs dans O(δ), telle que
u ↾Y ′ ∩W = u ∧ ds.
En fait, c’est pr´ ecis´ ement lae conclusion du th´ eor` eme d’extension L
2 d’OhsawaTakegoshi [OT87], [Ohs88] (voir aussi [Man93] pour une version plus g´ en´ erale de
ce r´ esultat) ; on peut ´ egalement invoquer des arguments standards d’alg` ebre locale
(voir Hartshorne [Har77], th. III-7.11). Comme K P p+1 = O(−p−2), la forme
u peut
ˆ etre consid´ er´ ee comme une section de O(δ−p−2) sur W , par suite le morphisme de
faisceaux u → u ∧ ds s’´ etend en une section globale de Hom
ω Y ′ , O Y ′ (δ − p − 2)
.
L’image inverse par π
⋆ fournit une section de Hom
π
⋆ ω Y ′ , O Y ((δ − p − 2)H)
.